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Question Number 94520 by john santu last updated on 19/May/20

∫ (√(e^(4x) +1)) dx

$$\int\:\sqrt{{e}^{\mathrm{4}{x}} +\mathrm{1}}\:{dx}\: \\ $$

Answered by niroj last updated on 19/May/20

∫(√((e^x )^4 +1)) dx Put e^x =t e^x .dx=dt dx= (1/t)dt =∫(√(t^4 +1)) .(1/t)dt =∫(√(t^2 (t^2 +(1/t^2 )))) (1/t)dt =∫ t (√(t^2 +(1/t^2 ))) (1/t)dt =∫(√((t+(1/t))^2 −2)) dt =∫(√((t+(1/t))^2 −((√2) )^2 )) dt = (((t+(1/t))(√(t^2 +(1/t^2 ))))/2)− ((((√2) )^2 )/2)log(t+(1/t)+(√(t^2 +(1/t^2 ))) )+C = ((((t^2 +1)/t).((√(t^4 +1))/t))/2) −log (((t^2 +1)/t)+((√(t^4 +1))/t))+C = (((t^2 +1)(√(t^4 +1)))/(2t^2 ))−log (((t^2 +1+(√(t^4 +1)) )/t))+C = (((e^(2x) +1)((√(e^(4x) +1)) ))/(2e^(2x) )) −log (((e^(2x) +1+(√(e^(4x) +1)))/e^x ))+C //.

$$\:\:\int\sqrt{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\:\:\mathrm{dx}\:\: \\ $$$$\:\mathrm{Put}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} =\mathrm{t} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} .\mathrm{dx}=\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{dx}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:=\int\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\:\:\:.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:=\int\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)}\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:=\int\:\mathrm{t}\:\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:=\int\sqrt{\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\:\:\:\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\:=\int\sqrt{\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:=\:\frac{\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}}{\mathrm{2}}−\:\frac{\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\:\:\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\:\:=\:\:\frac{\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{t}}.\frac{\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{t}}}{\mathrm{2}}\:\:−\mathrm{log}\:\left(\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\frac{\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{t}}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\:\:=\:\frac{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{log}\:\left(\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\:\:}{\mathrm{t}}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\:=\:\frac{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{1}\right)\left(\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} +\mathrm{1}}\:\right)}{\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} }\:−\mathrm{log}\:\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} +\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\right)+\mathrm{C}\://. \\ $$$$\: \\ $$$$ \\ $$

Commented by i jagooll last updated on 19/May/20

cooll man ������

Commented by peter frank last updated on 19/May/20

thank you

$${thank}\:{you} \\ $$

Commented by Mr.D.N. last updated on 19/May/20

great��

Commented by niroj last updated on 19/May/20

������

Answered by john santu last updated on 19/May/20

let u = e^(4x) ⇒ dx = (du/(4u)) ∫ ((√(u+1))/(4u)) du = (1/4)∫ ((√(u+1))/u) du set v = (√(u+1)) ⇒du = 2v dv ∫ (1/4) ((2v^2 )/(v^2 −1)) dv = (1/2)∫ (1+(1/(v^2 −1))) dv = (1/2)( v + (1/2)ln ∣((v−1)/(v+1))∣ )+ c = (1/2)(√(e^(4x) +1)) + (1/4)ln ∣(((√(e^(4x) +1)) −1)/((√(e^(4x) +1)) +1))∣ + c

$$\mathrm{let}\:\mathrm{u}\:=\:\mathrm{e}^{\mathrm{4}{x}} \:\Rightarrow\:{dx}\:=\:\frac{{du}}{\mathrm{4}{u}} \\ $$$$\int\:\frac{\sqrt{{u}+\mathrm{1}}}{\mathrm{4}{u}}\:{du}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\:\frac{\sqrt{{u}+\mathrm{1}}}{{u}}\:{du}\: \\ $$$${set}\:{v}\:=\:\sqrt{{u}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow{du}\:=\:\mathrm{2}{v}\:{dv}\: \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\frac{\mathrm{2}{v}^{\mathrm{2}} }{{v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:{dv}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)\:{dv} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\:{v}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{{v}−\mathrm{1}}{{v}+\mathrm{1}}\mid\:\right)+\:\mathrm{c}\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{{e}^{\mathrm{4}{x}} +\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{\sqrt{{e}^{\mathrm{4}{x}} +\mathrm{1}}\:−\mathrm{1}}{\sqrt{{e}^{\mathrm{4}{x}} +\mathrm{1}}\:+\mathrm{1}}\mid\:+\:\mathrm{c}\: \\ $$

Commented by i jagooll last updated on 19/May/20

waw....funtastic

$$\mathrm{waw}....\mathrm{funtastic}\: \\ $$

Answered by MJS last updated on 19/May/20

why not all at once? ∫(√(e^(4x) +1))dx= [t=(√(e^(4x) +1)) → dx=((√(e^(4x) +1))/(2e^(4x) ))dt] =(1/2)∫(t^2 /(t^2 −1))dt=(t/2)+(1/4)ln ((t−1)/(t+1)) =...

$$\mathrm{why}\:\mathrm{not}\:\mathrm{all}\:\mathrm{at}\:\mathrm{once}? \\ $$$$\int\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{4}{x}} +\mathrm{1}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{4}{x}} +\mathrm{1}}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{4}{x}} +\mathrm{1}}}{\mathrm{2e}^{\mathrm{4}{x}} }{dt}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}{dt}=\frac{{t}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\frac{{t}−\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}\:=... \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 19/May/20

I =∫ (√(e^(4x) +1))dx we do the changement (√(e^(4x) +1))=t ⇒ e^(4x) =t^2 −1 ⇒4x =ln(t^2 −1) ⇒x =(1/4)ln(t^2 −1) ⇒dx =(t/(2(t^2 −1)))dt ⇒ I =(1/2)∫ t^2 ×(dt/(t^2 −1)) =(1/2)∫ ((t^2 −1+1)/(t^2 −1))dt =(t/2) +(1/4)∫((1/(t−1))−(1/(t+1)))dt =(t/2) +(1/4)ln∣((t−1)/(t+1))∣ +C =(1/2)(√(e^(4x) +1))+(1/4)ln∣(((√(e^(4x) +1))−1)/((√(e^(4x) +1))+1))∣ +C

$$\mathrm{I}\:=\int\:\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} +\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} =\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{4x}\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:×\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} +\mathrm{1}}−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{e}^{\mathrm{4x}} +\mathrm{1}}+\mathrm{1}}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$

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