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Question Number 94767 by Hamida last updated on 20/May/20

Answered by mathmax by abdo last updated on 21/May/20

y(x) =5^(−x) +5 arcsin((x/6)) +ln(x^2 +4)+e^(((−7)/2)x) +3^(−x) ln5 ⇒y(x) =u(x)+v(x) with u(x) =5^(−x) +3^(−x) ln(5) and v(x) =5 arcsin((x/6))+ln(x^2 +4) +e^(−((7x)/2)) we have u(x) =e^(−xln5) +e^(−xln(3)) ln5 ⇒u^′ (x)=−ln5 e^(−xln5) −ln3 e^(−xln3) ln5 =−ln5 ×5^(−x) −ln3.ln5 3^(−x) v^′ (x) =(5/6)×(1/(√(1−(x^2 /(36))))) +((2x)/(x^2 +4)) −(7/2)e^(−((7x)/2)) ⇒ y^′ (x) =−ln5 ×5^(−x) −ln3.ln5 ×3^(−x) +(5/(6(√(1−(x^2 /(36)))))) +((2x)/(x^2 +4))−(7/2)e^(−((7x)/2))

$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{5}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{5}\:\mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{6}}\right)\:+\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)+\mathrm{e}^{\frac{−\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}} \:+\mathrm{3}^{−\mathrm{x}} \mathrm{ln5} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{with}\:\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{5}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{3}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{5}\:\mathrm{arcsin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{6}}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right)\:+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}^{−\mathrm{xln5}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{xln}\left(\mathrm{3}\right)} \mathrm{ln5}\:\Rightarrow\mathrm{u}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{ln5}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{xln5}} \\ $$$$−\mathrm{ln3}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{xln3}} \mathrm{ln5}\:=−\mathrm{ln5}\:×\mathrm{5}^{−\mathrm{x}} \:−\mathrm{ln3}.\mathrm{ln5}\:\mathrm{3}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{v}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}×\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{36}}}}\:+\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}\:−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{2}}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{ln5}\:×\mathrm{5}^{−\mathrm{x}} \:−\mathrm{ln3}.\mathrm{ln5}\:×\mathrm{3}^{−\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{36}}}}\:+\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$ \\ $$

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