Question Number 94786 by MJS last updated on 21/May/20
$${x},\:{y}\:\in\mathbb{N}\backslash\left\{\mathrm{0},\:\mathrm{1}\right\}\:\wedge\:{x}\leqslant{y} \\ $$$$\mathrm{find}\:{z}\in\mathbb{N}\:\mathrm{with}\:{z}!={x}!{y}! \\ $$
Commented by hknkrc46 last updated on 21/May/20
$$\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{x}!=\mathrm{y}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{z}!=\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)!\:\Rightarrow\:\mathrm{z}=\mathrm{y}+\mathrm{1}\: \\ $$$$\left(\mathrm{a}.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{x}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{6} \\ $$$$\left(\mathrm{a}.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{x}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{23}\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{24} \\ $$$$\left(\mathrm{a}.\mathrm{3}\right)\:\mathrm{x}=\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{119}\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{120} \\ $$$$\centerdot\centerdot\centerdot\centerdot \\ $$$$\left\{\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\::\:\mathrm{x}!=\mathrm{y}+\mathrm{1}=\mathrm{z}\:;\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{3}\right\} \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\:\mathrm{y}!=\mathrm{x}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{z}!=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)!\:\Rightarrow\:\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{b}.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{y}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{5}\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{6}\:\left(\mathrm{x}\nleq\mathrm{y}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{b}.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{y}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{23}\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{24}\:\left(\mathrm{x}\nleq\mathrm{y}\right) \\ $$$$.... \\ $$