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Question Number 94874 by i jagooll last updated on 21/May/20

Commented by hknkrc46 last updated on 21/May/20

(√(2−7x))+2x=0 ★ ((f(x)))^(1/(2n)) ≥0 ∧ f(x)≥0 ; n∈Z^+ ★ n=1 ⇒ ((f(x)))^(1/2) =(√(f(x))) ⇒ (√(2−7x))=−2x (1) 2−7x≥0 ⇒ 2≥7x ⇒ x≤(2/7) (2) (√(2−7x))=−2x≥0 ⇒ x≤0 ✠ x≤(2/7) ∧ x≤0 ⇒ x≤0 (3) ((√(2−7x)))^2 =(−2x)^2 ⇒ 2−7x=4x^2 ⇒ 4x^2 +7x−2=0 ★ ax^2 +bx+c=0 ⇒ x_(1,2) =((−b∓(√(b^2 −4ac)))/(2a)) x_1 =((−b−(√(b^2 −4ac)))/(2a))=((−7−(√(7^2 −4∙4∙(−2))))/(2∙4))=−2 x_2 =((−b+(√(b^2 −4ac)))/(2a))=((−7+(√(7^2 −4∙4∙(−2))))/(2∙4))=(1/4) {x_1 =−2 < 0 ∧ x_2 =(1/4) ≮ 0} (√(2−7x))+2x=0 ⇒ x=−2

$$\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}+\mathrm{2x}=\mathrm{0} \\ $$$$\bigstar\:\sqrt[{\mathrm{2n}}]{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\geqslant\mathrm{0}\:\:\wedge\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\geqslant\mathrm{0}\:;\:\mathrm{n}\in\mathbb{Z}^{+} \\ $$$$\bigstar\:\mathrm{n}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\sqrt[{\mathrm{2}}]{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}=−\mathrm{2x} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{2}−\mathrm{7x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{2}\geqslant\mathrm{7x}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{7}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}=−\mathrm{2x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{0}\:\: \\ $$$$\maltese\:\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{7}}\:\wedge\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\left(\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}\right)^{\mathrm{2}} =\left(−\mathrm{2x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}−\mathrm{7x}=\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7x}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\bigstar\:\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{b}\mp\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}}}{\mathrm{2a}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{b}−\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}}}{\mathrm{2a}}=\frac{−\mathrm{7}−\sqrt{\mathrm{7}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\centerdot\mathrm{4}\centerdot\left(−\mathrm{2}\right)}}{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{4}}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{b}+\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}}}{\mathrm{2a}}=\frac{−\mathrm{7}+\sqrt{\mathrm{7}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\centerdot\mathrm{4}\centerdot\left(−\mathrm{2}\right)}}{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{2}\:<\:\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\nless\:\mathrm{0}\right\} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}+\mathrm{2x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}=−\mathrm{2}\: \\ $$

Answered by john santu last updated on 21/May/20

(√(2−7x)) = −2x , for x < 0 squaring in both sides 2−7x = 4x^2 ⇒4x^2 +7x−2=0 (4x−1)(x+2) = 0 { ((x=−2 ( solution))),((x=(1/4) (not solution))) :}

$$\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}\:=\:−\mathrm{2x}\:,\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{squaring}\:\mathrm{in}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides} \\ $$$$\mathrm{2}−\mathrm{7x}\:=\:\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7x}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{4x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}=−\mathrm{2}\:\left(\:\mathrm{solution}\right)}\\{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\left(\mathrm{not}\:\mathrm{solution}\right)}\end{cases} \\ $$

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