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Question Number 94914 by 174 last updated on 21/May/20

Answered by mathmax by abdo last updated on 22/May/20

A_+ =∫ x^2 (a^2 +x^2 )^(m−1) dx (m integr) ⇒x=at A_+ =∫ a^2 t^2 a^(2m−2) (1+t^2 )^(m−1) adt =a^(2m+1) ∫ t^2 Σ_(k=0) ^(m−1) C_(m−1) ^k t^(2k) dt =a^(2m+1) Σ_(k=0) ^(m−1) C_(m−1) ^k t^(2k+2) dt =a^(2m+1) Σ_(k=0) ^(m−1) (C_(m−1) ^k /(2k+3)) t^(2k+3) + C =a^(3m+1) Σ_(k=0) ^(m−1) (C_(m+1) ^k /(2k+3))((x/a))^(3k+3) +C (we suppose a≠0) A_− =∫ x^2 (a^2 −x^2 )^(m−1) dx we do the changement x =asinα ⇒A_− =∫ a^2 sin^2 α a^(2m−2) (cos^2 α)^(m−1) a cosα dα =a^(2m+1) ∫ sin^2 α cos^(2m−1) α dα =a^(2m+1 ) ∫ (1−cos^2 α)cos^(2m−1) α dα =a^(2m+1) ∫ cos^(2m−1) α dα −a^(2m+1) ∫ cos^(2m+1) α dα (wallis integral) ∫ cos^(2m−1) α dα =∫ (((e^(iα) +e^(−iα) )/2))^(2m−1) dα =(1/2^(2m−1) ) ∫ Σ_(k=0) ^(2m−1) C_(2m−1) ^k e^(ikα) ×e^(−i(2m−1−k)α) dα =(1/2^(2m−1) ) Σ_(k=0) ^(2m−1) C_(2m−1) ^k ∫ e^(i(k−2m+1+k)α) dα =(1/2^(2m−1) ) Σ_(k=0) ^(2m−1) C_(2m−1) ^k ×(1/(2k−2m+1)) e^(i(2k−2m+1)α) +C

$$\mathrm{A}_{+} =\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}\:\:\:\:\:\left(\mathrm{m}\:\mathrm{integr}\right)\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{at} \\ $$$$\mathrm{A}_{+} =\int\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{a}^{\mathrm{2m}−\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \mathrm{adt}\: \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{2m}+\mathrm{1}} \:\int\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{m}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2k}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{2m}+\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{m}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2k}+\mathrm{2}} \:\mathrm{dt}\: \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{2m}+\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{m}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2k}+\mathrm{3}}\:\mathrm{t}^{\mathrm{2k}+\mathrm{3}} \:\:+\:\mathrm{C} \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{3m}+\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{m}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{2k}+\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)^{\mathrm{3k}+\mathrm{3}} \:+\mathrm{C}\:\:\:\:\left(\mathrm{we}\:\mathrm{suppose}\:\mathrm{a}\neq\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{A}_{−} =\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}\:=\mathrm{asin}\alpha \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}_{−} =\int\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha\:\mathrm{a}^{\mathrm{2m}−\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha\right)^{\mathrm{m}−\mathrm{1}} \:\mathrm{a}\:\mathrm{cos}\alpha\:\mathrm{d}\alpha \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{2m}+\mathrm{1}} \:\int\:\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha\:\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} \alpha\:\mathrm{d}\alpha \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{2m}+\mathrm{1}\:} \:\int\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} \alpha\:\mathrm{d}\alpha \\ $$$$=\mathrm{a}^{\mathrm{2m}+\mathrm{1}} \:\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} \alpha\:\mathrm{d}\alpha\:−\mathrm{a}^{\mathrm{2m}+\mathrm{1}} \:\int\:\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2m}+\mathrm{1}} \:\alpha\:\mathrm{d}\alpha\:\left(\mathrm{wallis}\:\mathrm{integral}\right) \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} \:\alpha\:\mathrm{d}\alpha\:=\int\:\left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\alpha} }{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} \mathrm{d}\alpha \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} }\:\int\:\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{ik}\alpha} \:×\mathrm{e}^{−\mathrm{i}\left(\mathrm{2m}−\mathrm{1}−\mathrm{k}\right)\alpha} \:\mathrm{d}\alpha \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} }\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{k}−\mathrm{2m}+\mathrm{1}+\mathrm{k}\right)\alpha} \:\mathrm{d}\alpha \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} }\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} \:\:\mathrm{C}_{\mathrm{2m}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}−\mathrm{2m}+\mathrm{1}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{2m}+\mathrm{1}\right)\alpha} \:+\mathrm{C} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by 174 last updated on 22/May/20

thanks a lot

Commented by ElOuafi last updated on 22/May/20

perfect sir !! thank you.

$${perfect}\:{sir}\:!!\:{thank}\:{you}. \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 22/May/20

you are welcome

$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome} \\ $$

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