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Question Number 9516 by Joel575 last updated on 12/Dec/16

Σ_(k=1) ^n ⌊log_2 k⌋ = 2018 What is the value of n ?

$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\lfloor\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \:{k}\rfloor\:=\:\mathrm{2018} \\ $$$$\mathrm{What}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:{n}\:? \\ $$

Commented by sou1618 last updated on 12/Dec/16

∗K=⌊log_2 k⌋ when 2^0 ≤k<2^1 k={1} K=0 when 2^1 ≤k<2^2 k={2,3} K=1 ... (m=0,1,2,3....) when 2^m ≤k<2^(m+1) k={2^m ,2^m +1,2^m +2,...,2^(m+1) −1} K=m T_m =Σ_(k=2^m ) ^((2^(m+1) −1)) K =Σ_(k=2^m ) ^((2^(m+1) −1)) m =m2^m −−−−−−−−−− Σ_(k=1) ^n K=Σ_(m=1) ^(⌊log_2 n⌋) (Σ_(k=2^(m−1) ) ^(2^m −1) K)+Σ_((k=2^(⌊log_2 n⌋) )) ^n K Σ_(k=1) ^n K=Σ_(m=0) ^(⌊log_2 n⌋−1) T_m +Σ_((k=2^(⌊log_2 n⌋) )) ^n K so find N :satisfying↓ Σ_(m=0) ^N T_m <2018 =0×2^0 +1×2^1 +2×2^2 +3×2^3 ...+N×2^N <2018 0+2+8+24+64+160+384+896=1538<2018 ∴N=7 ⇒7=⌊log_2 n⌋−1 ⇔2^8 ≤n<2^9 Σ_(k=2^8 ) ^n K=2018−1538=480 when 2^8 ≤n<2^(8+1) K=8 ⇒ Σ_(k=2^8 ) ^n K=(n+1−2^8 )×8=480 ∴n=2^8 +59

$$\ast{K}=\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {k}\rfloor \\ $$$${when}\:\mathrm{2}^{\mathrm{0}} \leqslant{k}<\mathrm{2}^{\mathrm{1}} \:\:\:{k}=\left\{\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\:\:\:{K}=\mathrm{0} \\ $$$${when}\:\mathrm{2}^{\mathrm{1}} \leqslant{k}<\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:\:\:{k}=\left\{\mathrm{2},\mathrm{3}\right\} \\ $$$$\:\:\:{K}=\mathrm{1} \\ $$$$... \\ $$$$\left({m}=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}....\right) \\ $$$${when}\:\mathrm{2}^{{m}} \leqslant{k}<\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} \:\:\:\:{k}=\left\{\mathrm{2}^{{m}} ,\mathrm{2}^{{m}} +\mathrm{1},\mathrm{2}^{{m}} +\mathrm{2},...,\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\:\:\:{K}={m} \\ $$$$ \\ $$$${T}_{{m}} =\underset{{k}=\mathrm{2}^{{m}} } {\overset{\left(\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)} {\sum}}{K} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{2}^{{m}} } {\overset{\left(\mathrm{2}^{{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)} {\sum}}{m}\:\:={m}\mathrm{2}^{{m}} \\ $$$$−−−−−−−−−− \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{K}=\underset{{m}=\mathrm{1}} {\overset{\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {n}\rfloor} {\sum}}\left(\underset{{k}=\mathrm{2}^{{m}−\mathrm{1}} } {\overset{\mathrm{2}^{{m}} −\mathrm{1}} {\sum}}{K}\right)+\underset{\left({k}=\mathrm{2}^{\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {n}\rfloor} \right)} {\overset{{n}} {\sum}}{K} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{K}=\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {n}\rfloor−\mathrm{1}} {\sum}}{T}_{{m}} +\underset{\left({k}=\mathrm{2}^{\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {n}\rfloor} \right)} {\overset{{n}} {\sum}}{K} \\ $$$${so}\:{find}\:{N}\::{satisfying}\downarrow \\ $$$$\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{{N}} {\sum}}{T}_{{m}} <\mathrm{2018} \\ $$$$=\mathrm{0}×\mathrm{2}^{\mathrm{0}} +\mathrm{1}×\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{2}×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}×\mathrm{2}^{\mathrm{3}} ...+{N}×\mathrm{2}^{{N}} <\mathrm{2018} \\ $$$$\mathrm{0}+\mathrm{2}+\mathrm{8}+\mathrm{24}+\mathrm{64}+\mathrm{160}+\mathrm{384}+\mathrm{896}=\mathrm{1538}<\mathrm{2018} \\ $$$$\therefore{N}=\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{7}=\lfloor{log}_{\mathrm{2}} {n}\rfloor−\mathrm{1}\:\:\Leftrightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{8}} \leqslant{n}<\mathrm{2}^{\mathrm{9}} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{8}} } {\overset{{n}} {\sum}}{K}=\mathrm{2018}−\mathrm{1538}=\mathrm{480} \\ $$$${when}\:\mathrm{2}^{\mathrm{8}} \leqslant{n}<\mathrm{2}^{\mathrm{8}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:{K}=\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{2}^{\mathrm{8}} } {\overset{{n}} {\sum}}{K}=\left({n}+\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{8}} \right)×\mathrm{8}=\mathrm{480} \\ $$$$\therefore{n}=\mathrm{2}^{\mathrm{8}} +\mathrm{59} \\ $$

Commented by Joel575 last updated on 14/Dec/16

thank yoh very much

$${thank}\:{yoh}\:{very}\:{much} \\ $$

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