Question Number 9533 by FilupSmith last updated on 14/Dec/16 | ||
$$\mathrm{Determine}\:\mathrm{and}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{if}\:\mathrm{true}: \\ $$ $$\int_{\mathrm{0}} ^{\:{n}} {x}^{\mathrm{2}} {dx}\:<\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \\ $$ | ||
Answered by geovane10math last updated on 14/Dec/16 | ||
$$\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:+\:{C}\:\:<\:\mathrm{1}\:+\:\mathrm{4}\:+\:\mathrm{9}\:+\:...\:+\:{n}^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\:+\:{C}\:<\:\frac{{n}\left({n}\:+\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}\:+\:\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$ $${C}\:<\:\frac{\left({n}^{\mathrm{2}} \:+\:{n}\right)\left(\mathrm{2}{n}\:+\:\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\:−\:\frac{{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\: \\ $$ $${C}\:<\:\frac{\mathrm{2}{n}^{\mathrm{3}} \:+\:{n}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} \:+\:{n}\:−\:\mathrm{2}{n}^{\mathrm{3}} \:}{\mathrm{6}} \\ $$ $${C}\:<\:\frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:+\:{n}}{\mathrm{6}} \\ $$ $$\mathrm{It}\:\mathrm{depends}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{integration}'\mathrm{s}\:\mathrm{constant}.. \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{0}\:<\:\frac{\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:+\:{n}}{\mathrm{6}} \\ $$ $$\mathrm{3}{n}^{\mathrm{2}} \:+\:{n}\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $${n}\left(\mathrm{3}{n}\:+\:\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $${n}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:{n}_{\mathrm{2}} \:=\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$ $${S}\:=\:\left\{{n}\:\in\:\mathbb{R}\:\mid\:{n}\:<\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{or}\:{n}\:>\:\mathrm{0}\right\} \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented bygeovane10math last updated on 14/Dec/16 | ||
$${DO}\:{NOT}\:{CONSIDER}\:{THE}\:\boldsymbol{{C}}, \\ $$ $${I}\:{WRONG}\:{SORRY} \\ $$ | ||
Answered by sou1618 last updated on 14/Dec/16 | ||
$${other}\:{solution}... \\ $$ $${k}=\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},.... \\ $$ $${when}\:{x}:\:{k}\leqslant{x}\leqslant{k}+\mathrm{1} \\ $$ $$\Rightarrow{k}^{\mathrm{2}} \leqslant{x}^{\mathrm{2}} \leqslant\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$ $$ \\ $$ $$\Rightarrow\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} {k}^{\mathrm{2}} {dx}<\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}} {dx}<\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} {dx} \\ $$ $$\Leftrightarrow{k}^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}−{k}\right)<\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}} {dx}<\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({k}+\mathrm{1}−{k}\right) \\ $$ $$\Leftrightarrow{k}^{\mathrm{2}} <\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}} {dx}<\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} <\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}} {dx}<\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\Leftrightarrow\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} <\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} {x}^{\mathrm{2}} {dx}<\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\ast\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +...+{n}^{\mathrm{2}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \\ $$ $$ \\ $$ $$\therefore\:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} <\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} {x}^{\mathrm{2}} {dx}<\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} \\ $$ | ||
Answered by mrW last updated on 14/Dec/16 | ||
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:{n}} {x}^{\mathrm{2}} {dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}} \\ $$ $$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{2n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}}{\mathrm{6}}=\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}+\left(\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{6}}\right) \\ $$ $$>\frac{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:{n}} {x}^{\mathrm{2}} {dx} \\ $$ | ||