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Question Number 95465 by mathmax by abdo last updated on 25/May/20

solve y^(′′) −y^′ +2 =x^2 e^(−x) with y(0) =1 and y^′ (0) =−1

$$\mathrm{solve}\:\mathrm{y}^{''} \:−\mathrm{y}^{'} \:+\mathrm{2}\:\:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{with}\:\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\:=−\mathrm{1} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 26/May/20

(he)→y^(′′) −y^′ +2 =0→r^2 −r+2 =0 Δ =−7 ⇒r_1 =((1+i(√7))/2) and r_2 =((1−i(√7))/2) ⇒ y(x) =a e^(((1+i(√7))/2)x) +b e^((1−i(√7))/2) =e^(x/2) (α cos((((√7)x)/2))+βsin((((√7)x)/2))) =α e^(x/2) cos(((√7)/2)x) +β e^(x/2) sin(((√7)/2)x) =αu_1 (x)+βu_2 (x) W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((u_1 u_2 )),((u_1 ^′ u_2 ^′ ))) = determinant (((e^(x/2) cos((((√7)x)/2)) e^(x/2) sin((((√7)x)/2)))),(((1/2)e^(x/2) cos((((√7)x)/2))−((√7)/2)e^(x/2) sin((((√7)x)/2)) (1/2)e^(x/2) sin((((√7)x)/2))+((√7)/2)e^(x/2) cos((((√7)x)/2))))) =e^(x/2) cos((((√7)x)/2)){(1/2)e^(x/2) sin((((√7)x)/2))+((√7)/2)e^(x/2) cos((((√7)x)/2))−e^(x/2) sin((((√7)x)/2)){(1/2)e^(x/2) cos((((√7)x)/2))−((√7)/2)e^(x/2) sin((((√7)x)/2))}

$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{y}^{''} −\mathrm{y}^{'} \:+\mathrm{2}\:=\mathrm{0}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}+\mathrm{2}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta\:=−\mathrm{7}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}} \:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\alpha\:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\beta\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$=\alpha\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:+\beta\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:=\alpha\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\beta\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{'} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{'} }\end{vmatrix}\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}\\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)−\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)−\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right\}\right. \\ $$$$ \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 26/May/20

W(u_1 ,u_2 ) =(1/2)e^x cos((((√7)x)/2))sin((((√7)x)/2))+((√7)/2) e^x cos^2 ((((√7)x)/2)) −(1/2)e^x sin((((√7)x)/2))cos((((√7)x)/2))+((√7)/2)e^x sin^2 ((((√7)x)/2)) =((√7)/2)e^x

$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 26/May/20

W_1 = determinant (((0 u_2 )),((x^2 e^(−x) u_2 ^′ ))) =−x^2 e^(−x) e^(x/2) sin((((√7)x)/2)) =−x^2 e^(−(x/2)) sin((((√7)x)/2)) W_2 = determinant (((u_(1 ) 0)),((u_1 ^′ x^2 e^(−x) )))=x^2 e^(−x) e^(x/2) cos((((√7)x)/2))=x^2 e^(−(x/2)) cos((((√7)x)/2)) v_1 =∫ (w_1 /w)dx =−∫ ((x^2 e^(−(x/2)) sin((((√7)x)/2)))/(((√7)/2)e^x ))dx =−(2/(√7))∫ x^2 e^(−(3/2)x) sin((((√7)x)/2))dx v_2 =∫ (w_2 /w)dx =∫ ((x^2 e^(−(x/2)) cos((((√7)x)/2)))/(((√7)/2)e^x ))dx=(2/(√7))∫ x^2 e^(−(3/2)x) cos((((√7)x)/2))dx y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 and y =y_h +y_p ....

$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{'} }\end{vmatrix}\:=−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\:=−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{u}_{\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{'} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\int\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{7}}\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \:.... \\ $$

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