Question Number 95638 by Ar Brandon last updated on 26/May/20
$$\mathrm{a}\backslash\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}}\:\mathrm{is}\:\mathrm{derivable}\:\mathrm{at}\:\mathrm{all}\:\mathrm{points}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} >\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{and}\:\mathrm{that}\:\mathrm{f}'\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}_{\mathrm{0}} } \\ $$ $$\mathrm{b}\backslash\:\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}}\:\left(\mathrm{continuous}\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0}\right) \\ $$ $$\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{derivable}\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$
Answered by john santu last updated on 26/May/20
$$\left(\mathrm{b}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sqrt{\mathrm{x}\:}\:\mathrm{continuous}\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{i}\right)\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{−} } {\mathrm{lim}}\:\sqrt{\mathrm{x}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\sqrt{\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:=\:\sqrt{\mathrm{0}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{since}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:,\:\mathrm{hence}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}} \\ $$ $$\mathrm{continuous}\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$