Question Number 95650 by M±th+et+s last updated on 26/May/20
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left\{\left(−\mathrm{1}\right)^{\lfloor\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rfloor} \frac{\mathrm{1}}{{x}}\right\}{dx} \\ $$$$\left\{..\right\}{is}\:{fractional}\:{part} \\ $$$$\lfloor..\rfloor\:{is}\:{floor}\:{function} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/May/20
![A =∫_0 ^1 {(−1)^([(1/x)]) ×(1/x)}dx we do the changement (1/x)=t ⇒ A =−∫_1 ^(+∞) {(−1)^([t]) ×t}(−(dt/t^2 )) ( u=[u]+{u}) =∫_1 ^(+∞) ( (−1)^([t]) t−[(−1)^([t]) t])(dt/t^2 ) =∫_1 ^(+∞) (((−1)^([t]) )/t)dt −∫_1 ^(+∞) (([(−1)^([t]) t])/t^2 )dt =E−F E =Σ_(n=1) ^∞ ∫_n ^(n+1) (((−1)^n )/t)dt =Σ_(n=1) ^∞ (−1)^n (ln(n+1)−ln(n)) =Σ_(n=1) ^∞ (−1)^n ln(1+(1/n)) (serie is convergent due to (−1)^n ln(1+(1/n))∼(((−1)^n )/n)) ∫_1 ^(+∞) (([(−1)^([t]) t])/t^2 )dt =Σ_(n=1) ^∞ ∫_n ^(n+1) (([(−1)^n t])/t^2 )dt =Σ_(k=1) ^∞ ∫_(2k) ^(2k+1) (([t])/t^2 )dt +Σ_(k=0) ^∞ ∫_(2k+1) ^(2k+2) (([−t])/t^2 )dt we have Σ_(k=1) ^∞ ∫_(2k) ^(2k+1) (([t])/t^2 )dt =Σ_(k=1) ^∞ ∫_(2k) ^(2k+1) ((2k)/t^2 )dt =Σ_(k=1) ^∞ (2k)[−(1/t)]_(2k) ^(2k+1) =2Σ_(k=1) ^∞ k((1/(2k))−(1/(2k+1))) =2Σ_(k=1) ^∞ ((1/2)−(k/(2k+1)))=... 2k+1<t<2k+2 ⇒−2k−2<−t<−2k−1 ⇒ [−t] =−2k−2 ⇒Σ_(k=0) ^∞ ∫_(2k+1) ^(2k+2) (([−t])/t^2 )dt =Σ_(k=0) ^∞ −∫_(2k+1) ^(2k+2) ((2k+2)/t^2 )dt =−Σ_(k=0) ^∞ (2k+2)[−(1/t)]_(2k+1) ^(2k+2) =Σ_(k=0) ^∞ (2k+2)((1/(2k+2))−(1/(2k+1))) =Σ_(k=0) ^∞ (1−((2k+2)/(2k+1))) ....its seems that this integral is divefgent...!](Q95683.png)
$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left\{\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right]} ×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right\}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}\:=−\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \left\{\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\mathrm{t}\right]} ×\mathrm{t}\right\}\left(−\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)\:\:\:\left(\:\mathrm{u}=\left[\mathrm{u}\right]+\left\{\mathrm{u}\right\}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \left(\:\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\mathrm{t}\right]} \mathrm{t}−\left[\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\mathrm{t}\right]} \mathrm{t}\right]\right)\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\mathrm{t}\right]} }{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:−\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\frac{\left[\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\mathrm{t}\right]} \mathrm{t}\right]}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\mathrm{E}−\mathrm{F} \\ $$$$\mathrm{E}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)\right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\:\:\left(\mathrm{serie}\:\mathrm{is}\:\mathrm{convergent}\:\:\mathrm{due}\:\mathrm{to}\right. \\ $$$$\left.\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\sim\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{+\infty} \:\frac{\left[\left(−\mathrm{1}\right)^{\left[\mathrm{t}\right]} \mathrm{t}\right]}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \frac{\left[\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}\right]}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{2k}} ^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} \:\:\frac{\left[\mathrm{t}\right]}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2k}+\mathrm{2}} \:\frac{\left[−\mathrm{t}\right]}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{2k}} ^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} \:\frac{\left[\mathrm{t}\right]}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{2k}} ^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2k}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{2k}\right)\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right]_{\mathrm{2k}} ^{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} \:=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{k}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\right)=... \\ $$$$\mathrm{2k}+\mathrm{1}<\mathrm{t}<\mathrm{2k}+\mathrm{2}\:\Rightarrow−\mathrm{2k}−\mathrm{2}<−\mathrm{t}<−\mathrm{2k}−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\left[−\mathrm{t}\right]\:=−\mathrm{2k}−\mathrm{2}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2k}+\mathrm{2}} \:\frac{\left[−\mathrm{t}\right]}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:−\int_{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2k}+\mathrm{2}} \:\:\:\frac{\mathrm{2k}+\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{2k}+\mathrm{2}\right)\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right]_{\mathrm{2k}+\mathrm{1}} ^{\mathrm{2k}+\mathrm{2}} \:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{2k}+\mathrm{2}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}+\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{2k}+\mathrm{2}}{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}\right)\:\:....\mathrm{its}\:\mathrm{seems}\:\mathrm{that}\:\mathrm{this}\:\mathrm{integral}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{divefgent}...! \\ $$