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Question Number 95693 by mathmax by abdo last updated on 27/May/20

solve y^(′′) −2y^′ +1 =(x−1)shx

$$\mathrm{solve}\:\mathrm{y}^{''} −\mathrm{2y}^{'} \:+\mathrm{1}\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{shx} \\ $$

Answered by abdomathmax last updated on 29/May/20

(he)→r^2 −2r +1 =0 ⇒(r−1)^2 =0 ⇒r=1 ⇒ y_h =(ax+b)e^x =a xe^x +b e^x u_1 =xe^x and u_2 =e^x w(u_1 ,u_2 ) = determinant (((u_1 u_2 )),((u_1 ^′ u_2 ^′ )))= determinant (((xe^x e^x )),(((x+1)e^x e^x ))) =xe^(2x) −(x+1)e^(2x) =−e^(2x) w_1 = determinant (((o e^x )),(((x−1)shx e^x )))=−(x−1)e^x shx w_2 = determinant (((xe^x 0)),(((x+1)e^x (x−1)shx))) =x(x−1)e^x sh(x) v_1 =∫ (w_1 /w)dx =−∫ (((x−1)e^x sh(x))/(−e^(2x) ))dx =∫ (x−1)e^(−x) (((e^x −e^(−x) )/2))dx =(1/2)∫(x−1)(1−e^(−2x) )dx =(1/2)∫ (x−1)dx −(1/2) ∫(x−1)e^(−2x) dx =(x^2 /4)−(x/2) −(1/2)∫ (x−1)e^(−2x) dx but ∫(x−1)e^(−2x) dx =((x−1)/(−2))e^(−2x) −∫ (1/(−2))e^(−2x ) dx =(((1−x)e^(−2x) )/2) −(1/4)e^(−2x) +c v_2 =∫ (w_2 /w) =∫ ((x(x−1)shx)/(−e^(2x) )) =∫x(1−x)e^(−2x) sh(x)dx =(1/2)∫ (x−x^2 )e^(−2x) (e^x −e^(−x) )dx =(1/2)∫ (x−x^2 )(e^(−x ) −e^(−3x) )dx ....(eazy to solve) ⇒y_p =u_1 v_(1 ) +u_2 v_2 y =y_h +y_p

$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2r}\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{r}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}=\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:=\mathrm{a}\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{b}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{u}_{\mathrm{1}} =\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{'} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{'} }\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{xe}^{\mathrm{2x}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \:=−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\\{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{shx}\:\:\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{shx} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{shx}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)}{−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\int\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{but}\:\int\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{−\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:−\int\:\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}\:} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }{\mathrm{2}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{shx}}{−\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} }\:=\int\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{sh}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}\:} −\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \right)\mathrm{dx}\:....\left(\mathrm{eazy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}\:} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \\ $$$$ \\ $$

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