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Question Number 95694 by mathmax by abdo last updated on 27/May/20
$$\mathrm{solve}\:\mathrm{by}\:\mathrm{laplace}\:\mathrm{transform}\:\:\mathrm{y}^{''} \:+\mathrm{3y}^{'} +\mathrm{2y}\:=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\:\mathrm{withy}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{2} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 27/May/20
![(e)⇒L(y^(′′) )+3L(y^′ )+2L(y) =L(e^(−x) ) ⇒ x^2 L(y)−xy(0)−y^′ (0)+3(xL(y)−y(0))+2L(y) =L(e^(−x) ) ⇒ (x^2 +3x+2)L(y)−x−2−3 =L(e^(−x) ) ⇒(x^2 +3x+2)L(y) =x+5 +L(e^(−x) ) L(e^(−x) ) =∫_0 ^∞ e^(−t) e^(−xt) dt =∫_0 ^∞ e^(−(1+x)t) dt =[−(1/(1+x))e^(−(1+x)t) ]_0 ^∞ =(1/(x+1)) so (e) ⇒(x^2 +3x+2)L(y) =x+5+(1/(x+1)) ⇒ L(y) =((x+5)/(x^2 +3x+2)) +(1/((x+1)(x^2 +3x+2))) ⇒y(x)=L^(−1) (((x+5)/(x^2 +3x+2)))+L^(−1) ((1/((x+1)(x^2 +3x+2)))) x^2 +3x+2 =x^2 −1 +3x+3 =(x−1)(x+1)+3(x+1) =(x+1)(x−1+3) =(x+1)(x+2) ⇒((x+5)/(x^2 +3x+2)) =((x+5)/((x+1)(x+2))) =(a/(x+1)) +(b/(x+2)) a =4 and b =(3/(−1))=−3 ⇒((x+5)/(x^2 +3x+2)) =(4/(x+1))−(3/(x+2)) ⇒ L^(−1) (((x+5)/(x^2 +3x+2))) =4L^(−1) ((1/(x+1)))−3L^(−1) ((1/(x+2))) =4e^(−x) −3e^(−2x) let decompose g(x) =(1/((x+1)(x^2 +3x+2))) ⇒g(x) =(1/((x+1)^2 (x+2))) =(a/(x+1)) +(b/((x+1)^2 )) +(c/(x+2)) b =1 and c =1 ⇒g(x) =(a/(x+1)) +(1/((x+1)^2 )) +(1/(x+2)) lim_(x→+∞) xg(x) =0 =a +1 ⇒a =−1 ⇒g(x) =−(1/(x+1)) +(1/((x+1)^2 )) +(1/(x+2)) ⇒ L^(−1) (g(x)) =−e^(−x) +xe^(−x) +e^(−2x) ⇒ y(x) =4e^(−x) −3e^(−2x) −e^(−x) +xe^(−x) +e^(−2x) =3e^(−x) −2e^(−2x) +xe^(−x) ⇒y(x) =(x+3)e^(−x) −2e^(−2x)](Q95831.png)
$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)+\mathrm{3L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)+\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{xy}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3}\left(\mathrm{xL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\right)+\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{x}−\mathrm{2}−\mathrm{3}\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{x}+\mathrm{5}\:+\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\mathrm{so}\:\left(\mathrm{e}\right)\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{x}+\mathrm{5}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\right)+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{2}\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\:+\mathrm{3x}+\mathrm{3}\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\:=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\frac{\mathrm{x}+\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{5}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}\:=\mathrm{4}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}\:=\frac{\mathrm{3}}{−\mathrm{1}}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{x}+\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\:=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{5}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}+\mathrm{2}}\right)\:=\mathrm{4L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)−\mathrm{3L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\right)\:=\mathrm{4e}^{−\mathrm{x}} \:−\mathrm{3e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{b}\:=\mathrm{1}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{c}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{2}} \\ $$$${lim}_{{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xg}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}\:+\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{a}\:=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)\:=−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{4e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{3e}^{−\mathrm{2x}} \:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:=\mathrm{3e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} \:+\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} \\ $$