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Question Number 95837 by mathmax by abdo last updated on 28/May/20
![let p(x)=(1+ix+x^2 )^n −(1−ix +x^2 )^n 1) determine roots of p(x) 2) find p(x) at form Σ a_i x^i 3)ddtermne p(x) at form arctan 4) factorize p(x) inside C[x] 5) calculate ∫_0 ^1 p(x)dxand ∫_1 ^∞ (dx/(p(x)))](Q95837.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{1}+\mathrm{ix}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} −\left(\mathrm{1}−\mathrm{ix}\:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{determine}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{find}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{at}\:\mathrm{form}\:\Sigma\:\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{i}} \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right)\mathrm{ddtermne}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{at}\:\mathrm{form}\:\mathrm{arctan} \\ $$$$\left.\mathrm{4}\right)\:\mathrm{factorize}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{inside}\:\mathrm{C}\left[\mathrm{x}\right] \\ $$$$\left.\mathrm{5}\right)\:\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dxand}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 02/Jun/20
![1) p(x)=0⇔(1+ix+x^2 )^n =(1−ix +x^2 )^n ⇒(((1+ix+x^2 )/(1−ix+x^2 )))^n =1 let z =((1+ix +x^2 )/(1−ix +x^2 )) ⇒1+ix+x^2 =z−izx+zx^2 ⇒x^2 +ix+1−zx^2 +izx−z =0 ⇒ (1−z)x^2 +i(z+1)x +1−z =0 Δ =−(z+1)^2 −4(1−z)^2 ⇒x_1 =((−i(z+1)+i(√((z+1)^2 +4(z−1)^2 )))/(2(1−z))) x_2 =((−i(z+1)−i(√((z+1)^2 +4(z−1)^2 )))/(2(1−z))) z^n =1 ⇒z^n =e^(i2kπ) ⇒z_k =e^((i2kπ)/n) with k∈[[0,n−1]] ⇒the roots are x_(1k) =((−i(z_k +1)+i(√((z_k +1)^2 +4(z_k −1)^2 )))/(2(1−z_k ))) or x_(2k) =((−i(z_k +1)−i(√((z_k +1)^2 +4(z_k −1)^2 )))/(2(1−z_k )))](Q96498.png)
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\Leftrightarrow\left(\mathrm{1}+\mathrm{ix}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} =\left(\mathrm{1}−\mathrm{ix}\:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{ix}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{ix}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{1}\:\mathrm{let} \\ $$$$\mathrm{z}\:=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{ix}\:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{ix}\:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{1}+\mathrm{ix}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{z}−\mathrm{izx}+\mathrm{zx}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{ix}+\mathrm{1}−\mathrm{zx}^{\mathrm{2}} +\mathrm{izx}−\mathrm{z}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\mathrm{z}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{i}\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\:+\mathrm{1}−\mathrm{z}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta\:=−\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−\mathrm{z}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{i}\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{i}\sqrt{\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{z}\right)} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{i}\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{i}\sqrt{\left(\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{z}\right)} \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{e}^{\mathrm{i2k}\pi} \:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{k}} =\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i2k}\pi}{\mathrm{n}}} \:\:\mathrm{with}\:\mathrm{k}\in\left[\left[\mathrm{0},\mathrm{n}−\mathrm{1}\right]\right]\:\Rightarrow\mathrm{the}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{are} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1k}} =\frac{−\mathrm{i}\left(\mathrm{z}_{\mathrm{k}} +\mathrm{1}\right)+\mathrm{i}\sqrt{\left(\mathrm{z}_{\mathrm{k}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\left(\mathrm{z}_{\mathrm{k}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{z}_{\mathrm{k}} \right)}\:\:\mathrm{or} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2k}} =\frac{−\mathrm{i}\left(\mathrm{z}_{\mathrm{k}} +\mathrm{1}\right)−\mathrm{i}\sqrt{\left(\mathrm{z}_{\mathrm{k}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\left(\mathrm{z}_{\mathrm{k}} −\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{z}_{\mathrm{k}} \right)} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 02/Jun/20
![2) we have p(x) =(1+x^2 +ix)^n −(1+x^2 −ix)^n =Σ_(k=0) ^n C_n ^k (ix)^k (1+x^2 )^(n−k) −Σ_(k=0) ^n C_n ^k (−ix)^k (1+x^2 )^(n−k) =Σ_(k=0) ^n C_n ^k (1+x^2 )^(n−k) { i^k −(−i)^k }x^k =Σ_(p=0) ^([((n−1)/2)]) C_n ^(2p+1) (1+x^2 )^(n−2p−1) (2i)(−1)^p x^(2p+1) =2iΣ_(p=0) ^([((n−1)/2)]) (−1)^p C_n ^(2p+1) x^(2p+1) (Σ_(k=0) ^(n−2p−1) C_(n−2p−1) ^k x^(2k) ) =2i Σ_(p=0) ^([((n−1)/2)]) (−1)^p C_n ^(2p+1) (Σ_(k=0) ^(n−2p−1) C_(n−2p−1) ^k x^(2k+2p+1) )](Q96499.png)
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{ix}\right)^{\mathrm{n}} −\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ix}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{ix}\right)^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \:−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{ix}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \left\{\:\mathrm{i}^{\mathrm{k}} −\left(−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{k}} \right\}\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\left[\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2p}+\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}−\mathrm{2p}−\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{2i}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2p}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{2i}\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\left[\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2p}+\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2p}+\mathrm{1}} \left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2p}−\mathrm{1}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}−\mathrm{2p}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2k}} \right) \\ $$$$=\mathrm{2i}\:\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\left[\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{p}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2p}+\mathrm{1}} \left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{2p}−\mathrm{1}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}−\mathrm{2p}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2k}+\mathrm{2p}+\mathrm{1}} \right) \\ $$