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Question Number 96200 by mathmax by abdo last updated on 30/May/20

$$\mathrm{solve}{\mathrm{y}}^{{}^{″}}+{\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}-2\mathrm{y}=\mathrm{xcosx}\mathrm{with}{\mathrm{y}}^{\left(2\right)}\left(0\right)=1\mathrm{and}{\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}\left(0\right)=-2$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 31/May/20

$$\left(\mathrm{he}\right)\to {\mathrm{r}}^2+\mathrm{r}-2=0\to \mathrm{\Delta }=1+8=9\Rightarrow {\mathrm{r}}_1=\frac{-1+3}{2}=1$$$${\mathrm{r}}_2=\frac{-1-3}{2}=-2\Rightarrow {\mathrm{y}}_{\mathrm{h}}=\mathrm{a}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{b}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}={\mathrm{au}}_1+{\mathrm{bu}}_2$$$$\mathrm{W}({\mathrm{u}}_1,{\mathrm{u}}_2)=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{u}}_1{\mathrm{u}}_2\\ {\mathrm{u}}_1^{{}^{\prime }}{\mathrm{u}}_2^{{}^{\prime }}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{2\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\end{array}\right|=-{2\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}=-{3\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}$$$${\mathrm{W}}_1=\left|\begin{array}{c}0{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\\ \mathrm{xcosx}-{2\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\end{array}\right|=-\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}\mathrm{cosx}$$$${\mathrm{W}}_2=\left|\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}0\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{xcosx}\end{array}\right|=\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{cosx}$$$${\mathrm{v}}_1=\int \frac{{\mathrm{W}}_1}{\mathrm{W}}\mathrm{dx}=\int \frac{-{\mathrm{xe}}^{-2\mathrm{x}}\mathrm{cosx}}{-{3\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\mathrm{dx}=\frac{1}{3}\int {\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{cosx}\mathrm{dx}\mathrm{but}$$$$\int {\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{cosx}\mathrm{ex}=\mathrm{Re}(\int \mathrm{x}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}+\mathrm{ix}}\mathrm{dx})=\mathrm{Re}(\int {\mathrm{xe}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx})$$$$\int {\mathrm{xe}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}}{-1+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}-\int \frac{1}{-1+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx}$$$$=-\frac{\mathrm{x}}{1-\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}+\frac{1}{1-\mathrm{i}}\times \frac{1}{-1+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}$$$$=\frac{-\mathrm{x}(1+\mathrm{i})}{2}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}-\frac{1}{{(1-\mathrm{i})}^2}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}$$$$=\frac{-\mathrm{x}(1+\mathrm{i})}{2}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}-\frac{{(1+\mathrm{i})}^2}{4}{\mathrm{e}}^{(-1+\mathrm{i})\mathrm{x}}=$$$$=\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}(-2\mathrm{x}(1+\mathrm{i})(\mathrm{cosx}+\mathrm{isinx})-2\mathrm{i}(\mathrm{cosx}+\mathrm{isinx}))=....$$$${\mathrm{v}}_2=\int \frac{{\mathrm{W}}_2}{\mathrm{W}}\mathrm{dx}=\int \frac{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\mathrm{cosx}}{-{3\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\mathrm{dx}=-\frac{1}{3}\int {\mathrm{xe}}^{2\mathrm{x}}\mathrm{cosx}\mathrm{dx}$$$$=-\frac{1}{3}\mathrm{Re}(\int \mathrm{x}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}+\mathrm{ix}}\mathrm{dx})=-\frac{1}{3}(\int {\mathrm{xe}}^{(2+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx})$$$$\int \mathrm{x}{\mathrm{e}}^{(2+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}}{2+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(2+\mathrm{i})\mathrm{x}}-\int \frac{1}{2+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(2+\mathrm{i})\mathrm{x}}\mathrm{dx}$$$$=\frac{\mathrm{x}}{2+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(2+\mathrm{x})\mathrm{i}}-\frac{1}{{(2+\mathrm{i})}^2}{\mathrm{e}}^{(2+\mathrm{i})\mathrm{x}}=.....$$$${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}={\mathrm{u}}_1{\mathrm{v}}_1+{\mathrm{u}}_2{\mathrm{v}}_2\mathrm{and}\mathrm{y}={\mathrm{y}}_{\mathrm{h}}+{\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}....\mathrm{be}\mathrm{continued}...$$$$$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 31/May/20

$$\mathrm{let}\mathrm{solve}\mathrm{by}\mathrm{laplace}\mathrm{transform}$$$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow \mathrm{L}\left({\mathrm{y}}^{\left(2\right)}\right)+\mathrm{L}\left({\mathrm{y}}^{\left(1\right)}\right)-2\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{L}\left(\mathrm{xcosx}\right)\Rightarrow$$$${\mathrm{x}}^2\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)-\mathrm{xy}\left(0\right)-{\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}\left(0\right)+\mathrm{xL}\left(\mathrm{y}\right)-\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)-2\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\mathrm{cosx}\right)\Rightarrow$$$$({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)-(\mathrm{x}+1)\mathrm{y}\left(0\right)+2=\mathrm{L}\left(\mathrm{xcosx}\right)\Rightarrow$$$$({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{L}\left(\mathrm{xcosx}\right)+(\mathrm{x}+1)\mathrm{y}\left(0\right)-2\Rightarrow$$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{xcosx}\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathrm{t}\mathrm{cost}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{xt}}\mathrm{dt}=\mathrm{Re}\left({\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathrm{t}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{xt}+\mathrm{it}}\mathrm{dt}\right)$$$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathrm{t}{\mathrm{e}}^{(-\mathrm{x}+\mathrm{i})\mathrm{t}}\mathrm{dt}={\left[\frac{\mathrm{t}}{-\mathrm{x}+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-\mathrm{x}+\mathrm{i})\mathrm{t}}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{-\mathrm{x}+\mathrm{i}}{\mathrm{e}}^{(-\mathrm{x}+\mathrm{i})\mathrm{t}}\mathrm{dt}$$$$=\frac{1}{\mathrm{x}-\mathrm{i}}\times \frac{1}{-\mathrm{x}+\mathrm{i}}{\left[{\mathrm{e}}^{(-\mathrm{x}+\mathrm{i})\mathrm{t}}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{{(\mathrm{x}-\mathrm{i})}^2}=\frac{{(\mathrm{x}+\mathrm{i})}^2}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}=\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{ix}-1}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}\Rightarrow$$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{xcosx}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}$$$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow ({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}+\mathrm{y}\left(0\right)(\mathrm{x}+1)-2\Rightarrow$$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2)}+\frac{(\mathrm{x}+1)}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}\mathrm{y}\left(0\right)-\frac{2}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}\Rightarrow$$$$\mathrm{y}={\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2)}\right)+\mathrm{y}\left(0\right){\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}\right)-2{\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}\right)$$$${\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2={\mathrm{x}}^2-1+\mathrm{x}-1=(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+1)+\mathrm{x}-1=(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)\Rightarrow$$$$\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}=\frac{1}{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{\mathrm{x}-1}-\frac{1}{\mathrm{x}+2})\Rightarrow$$$${\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}\right)=\frac{1}{3}{\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{x}-1}\right)-\frac{1}{3}{\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{x}+2}\right)=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}$$$$\frac{\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}=\frac{\mathrm{x}+1}{3}(\frac{1}{\mathrm{x}-1}-\frac{1}{\mathrm{x}+2})=\frac{1}{3}\times \frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}-1}-\frac{1}{3}\times \frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{x}+2}$$$$=\frac{1}{3}\times \frac{\mathrm{x}-1+2}{\mathrm{x}-1}-\frac{1}{3}\times \frac{\mathrm{x}+2-1}{\mathrm{x}+2}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3(\mathrm{x}-1)}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3(\mathrm{x}+2)}$$$$\Rightarrow {\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}+1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2}\right)=\frac{2}{3}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}$$$$\mathrm{we}\mathrm{have}\frac{{\mathrm{x}}^2-1}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+2)}=\frac{(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+1)}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2(\mathrm{x}-1)(\mathrm{x}+2)}=\frac{\mathrm{x}+1}{(\mathrm{x}+2){({\mathrm{x}}^2+1)}^2}$$$$=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+2}+\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^2+1}+\frac{\mathrm{dx}+\mathrm{e}}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}\Rightarrow {\mathrm{L}}^{-1}(....)$$$$={\mathrm{aL}}^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{x}+2}\right)+{\mathrm{bL}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+1}\right)+{\mathrm{cL}}^{-1}\left(\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+1}\right)+{\mathrm{dL}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}\right)+{\mathrm{eL}}^{-1}\left(\frac{1}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}\right)\mathrm{p}$$$$=\mathrm{a}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{x}}+\mathrm{bcosx}+\mathrm{c}\mathrm{sinx}+\mathrm{d}{\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}}{{({\mathrm{x}}^2+1)}^2}\right)+....$$$$....\mathrm{be}\mathrm{continued}...$$

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