Question Number 96282 by 675480065 last updated on 31/May/20
Answered by bemath last updated on 31/May/20
$$\mathrm{look}\:\mathrm{qn}\:\mathrm{94383} \\ $$
Answered by 1549442205 last updated on 31/May/20
![We have x^4 +1=(x^2 +1)^2 −2x^2 =(x^2 +(√2) x+1)(x^2 −(√2) x+1) Hence,(1/(x^4 +1))=((ax+b)/(x^2 +(√(2 ))x+1))+((cx+d)/(x^2 −(√2)x+1)) ⇔1=(a+c)x^3 +[b+d+(√2)(c−a)]x^2 +[(√2)(c−b)+a+c]x+b+d { ((a+c=0)),((b+d=1)) :} { ((b+d+(√2)(c−a)=0)),(((√2)(c−b)+a+c=0)) :} Deduce a=(1/(2(√2))),b=c=((−1)/(2(√2))),d=1+(1/(2(√2))). hen ∫(dx/(x^4 +1))=(1/(2(√2)))∫((x−1)/(x^2 +(√2)x+1))dx−(1/(2(√2)))∫((x−2(√(2−))1)/(x^2 −(√2)x+1))dx= I=∫((x−1)/(x^2 +(√2)x+1))dx=(1/2)∫((d(x^2 +(√2)x+1))/(x^2 +(√2)x+1))dx+(1/2)∫((−(√2)−2)/(x^2 +(√2)x+1))dx =(1/2)∫((d(x^2 +(√2)x+1))/(x^2 +(√2)x+1))dx−((2+(√2))/2)∫(dx/((x+((√2)/2))^2 +((1/(√2)))^2 )) =(1/2)ln(x^2 +(√2)x+1)−((2+(√2))/2)[((√2)x+1)arctan((√2)x+1)] J=∫((x−2(√2)−1)/(x^2 −(√2)x+1))dx=(1/2)∫((d(x^2 −(√2)x+1))/(x^2 −(√2)x+1))+(1/2)∫((−3(√2)−2)/(x^2 −(√2)x+1))dx =(1/2)ln(x^2 −(√2)x+1)−((3(√2)+2)/2)[((√2)x−1)arctan((√2)x−1) From that F(x)= ∫(dx/(x^4 +1))=(1/(4(√2)))ln(x^2 +(√2)x+1)−((2+(√2))/(4(√2)))[((√2)x+1)arctan((√2)x+1)] −(1/(4(√2)))ln(x^2 −(√2)x+1)+((3(√2)+2)/(4(√2)))[((√2)x−1)arctan((√2)x−1)+C F(x)=(1/(4(√2)))ln((x^2 +(√2)x+1)/(x^2 −(√2)x+1))−(((√2)+1)/4)[((√2)x+1)arctan((√2)x+1)]+((3+(√2))/4)[((√2)x−1)arctan((√2)x−1)]+C](Q96316.png)
$$\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Hence},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}\:}\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{cx}+\mathrm{d}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{1}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{c}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left[\mathrm{b}+\mathrm{d}+\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)\right]\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left[\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{c}−\mathrm{b}\right)+\mathrm{a}+\mathrm{c}\right]\mathrm{x}+\mathrm{b}+\mathrm{d} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{a}+\mathrm{c}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{b}+\mathrm{d}=\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{b}+\mathrm{d}+\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{c}−\mathrm{a}\right)=\mathrm{0}}\\{\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{c}−\mathrm{b}\right)+\mathrm{a}+\mathrm{c}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Deduce}\:\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}},\mathrm{b}=\mathrm{c}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}},\mathrm{d}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}. \\ $$$$\mathrm{hen}\:\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\int\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\int\frac{\mathrm{x}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}−}\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}= \\ $$$$\mathrm{I}=\int\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{−\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\left[\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$\mathrm{J}=\int\frac{\mathrm{x}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}{\mathrm{2}}\left[\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{that}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\:\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\right] \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\left[\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{C}\right. \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{F}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\boldsymbol{\mathrm{ln}}\frac{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}}−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[\left(\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\right)\boldsymbol{\mathrm{arctan}}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\right)\right]+\frac{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}\left[\left(\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)\boldsymbol{\mathrm{arctan}}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right)\right]+\mathrm{C} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 31/May/20
$$\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}}\:=\int\:\:\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}\mathrm{dx}\left(\rightarrow\mathrm{u}=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\:\:\left(\rightarrow\mathrm{v}=\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\:\:\mathrm{but} \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}}\:=_{\mathrm{u}=\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{z}} \:\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{dz}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{z}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{0}} =\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{u}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{0}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)+\mathrm{c}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\int\:\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}}\mathrm{dv}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{dv}}{\left(\mathrm{v}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{v}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{v}−\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{v}+\sqrt{\mathrm{2}}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{v}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{v}+\sqrt{\mathrm{2}}}\mid\:+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{2}}}\mid\:+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{2}}}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$