Question Number 96287 by Ar Brandon last updated on 31/May/20
$$\mathcal{C}\mathrm{onsider}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system}\:\mathrm{in}\:\mathbb{N}^{\mathrm{3}} \\ $$ $$\left(\mathrm{S}\right):\:\begin{cases}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{q}^{\mathrm{2}} =\mathrm{r}^{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{q}+\mathrm{p}+\mathrm{r}=\mathrm{24}}\\{\mathrm{r}<\mathrm{p}+\mathrm{q}}\end{cases} \\ $$ $$\mathrm{Show}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{triplet}\:\left(\mathrm{p}:\mathrm{q}:\mathrm{r}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{to}\:\left(\mathrm{S}\right)\:\mathrm{if} \\ $$ $$\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if}\:\mathrm{r}<\mathrm{12}.\:\mathrm{p}\:\mathrm{and}\:\mathrm{q}\:\mathrm{are}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}; \\ $$ $$\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{24}−\mathrm{r}\right)\mathrm{n}+\mathrm{24}\left(\mathrm{12}−\mathrm{r}\right)=\mathrm{0}\:\mathrm{where}\:\mathrm{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{unknown}.\mathrm{p} \\ $$
Answered by maths mind last updated on 31/May/20
$$\left({p}+{q}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant{p}^{\mathrm{2}} +{q}^{\mathrm{2}} \Rightarrow{p}+{q}+{r}\geqslant\mathrm{2}{r}\Leftrightarrow\mathrm{24}\geqslant\mathrm{2}{r}\Rightarrow{r}\leqslant\mathrm{12} \\ $$ $$\left({p}+{q}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{24}−{r}\right)^{\mathrm{2}} \Leftrightarrow{p}^{\mathrm{2}} +{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{pq}=\left(\mathrm{24}−{r}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\Rightarrow{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{pq}=\mathrm{576}−\mathrm{48}{r}+{r}^{\mathrm{2}} \\ $$ $$\Rightarrow{pq}=\mathrm{288}−\mathrm{24}{r} \\ $$ $${p}+{q}=\mathrm{24}−{r}\Rightarrow\left({p},{q}\right)/{solution}\:{of} \\ $$ $${X}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{24}−{r}\right){X}+\mathrm{288}−\mathrm{24}{r}=\mathrm{0} \\ $$ $$\Leftrightarrow{n}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{24}−{r}\right){n}+\mathrm{12}\left(\mathrm{24}−\mathrm{2}{r}\right)=\mathrm{0} \\ $$
Commented byAr Brandon last updated on 31/May/20
Thank you ��