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Question Number 96377 by mathmax by abdo last updated on 01/Jun/20

if tan(x+iy)=a+ib determine x and y interms of a and b

$$\mathrm{if}\:\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}\right)=\mathrm{a}+\mathrm{ib}\:\:\:\mathrm{determine}\:\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\:\mathrm{interms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 02/Jun/20

tan(x+iy) =a+ib ⇒x+iy =arctan(a+ib) we know arctan(z) =(1/(2i))ln(((1+iz)/(1−iz))) ⇒arctan(a+ib) =(1/(2i))ln(((1+i(a+ib))/(1−i(a+ib)))) =(1/(2i))ln(((1−b+ia)/(1+b−ia))) we have 1−b+ia =(√((1−b)^2 +a^2 ))e^(iarctan((a/(1−b)))) ⇒ ln(1−b+ia) =(1/2)ln{(1−b)^2 +a^2 } +iarctan((a/(1−b))) also 1+b−ia =(√((1+b)^2 +a^2 ))e^(−iarctan((a/(1+b)))) ⇒ln(1+b−ia) =(1/2)ln{(1+b)^2 +a^2 } −iarctan((a/(1+b))) ⇒2i arctan(a+ib) (1/2)ln{(1−b)^2 +a^2 }+iarctan((a/(1−b)))−(1/2)ln{(1+b)^2 +a^2 }+iarctan((a/(1+b))) =(1/2)ln((((1−b)^2 +a^2 )/((1+b)^2 +a^2 ))) +i{ arctan((a/(1−b)))+arctan((a/(1+b))) ⇒ arctan(a+ib) =(1/(4i))ln((((1−b)^2 +a^2 )/((1+b)^2 +a^2 )))+(1/2){arctan((a/(1−b)))+arctan((a/(1+b)))}=x+iy ⇒ { ((x =(1/2){ arctan((a/(1−b))) +arctan((a/(1+b)))})),((y =(1/4)ln(((a^2 +b^2 +2b+1)/(a^2 +b^2 −2b+1))))) :}

$$\mathrm{tan}\left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}\right)\:=\mathrm{a}+\mathrm{ib}\:\Rightarrow\mathrm{x}+\mathrm{iy}\:=\mathrm{arctan}\left(\mathrm{a}+\mathrm{ib}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{know} \\ $$$$\mathrm{arctan}\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{iz}}{\mathrm{1}−\mathrm{iz}}\right)\:\Rightarrow\mathrm{arctan}\left(\mathrm{a}+\mathrm{ib}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\left(\mathrm{a}+\mathrm{ib}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{i}\left(\mathrm{a}+\mathrm{ib}\right)}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{b}+\mathrm{ia}}{\mathrm{1}+\mathrm{b}−\mathrm{ia}}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{1}−\mathrm{b}+\mathrm{ia}\:=\sqrt{\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{b}}\right)} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}+\mathrm{ia}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right\}\:+\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{b}}\right)\:\mathrm{also} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{b}−\mathrm{ia}\:=\sqrt{\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}+\mathrm{b}}\right)} \:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}−\mathrm{ia}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left\{\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right\} \\ $$$$−\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}+\mathrm{b}}\right)\:\Rightarrow\mathrm{2i}\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{a}+\mathrm{ib}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left\{\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right\}+\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{b}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left\{\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right\}+\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}+\mathrm{b}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\right)\:+\mathrm{i}\left\{\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{b}}\right)+\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}+\mathrm{b}}\right)\:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{arctan}\left(\mathrm{a}+\mathrm{ib}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}}\mathrm{ln}\left(\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{b}}\right)+\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}+\mathrm{b}}\right)\right\}=\mathrm{x}+\mathrm{iy} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}−\mathrm{b}}\right)\:+\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}+\mathrm{b}}\right)\right\}}\\{\mathrm{y}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2b}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2b}+\mathrm{1}}\right)}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$

Commented by Ar Brandon last updated on 02/Jun/20

Vous avez des choses tellement intéressantes monsieur Mathmax.��

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