Question Number 96429 by Hassanfathi last updated on 01/Jun/20
Answered by abdomathmax last updated on 01/Jun/20
![y^((3)) +y^((1)) =t+1 ⇒ L(y^((3)) )+L(y^((1)) ) =L(t+1) ⇒ t^3 L(y)−t^2 y(0)−ty^, (0)−y^((2)) (0) +tL(y)−y(0) =L(t+1) ⇒ (t^3 +t)L(y)=t^2 y(0)+ty^′ (0)+y^((2)) (0)+y(0)+L(t+1) L(t+1) =∫_0 ^∞ (x+1)e^(−tx) dx =[((x+1)/(−t))e^(−tx) ]_0 ^∞ −∫_0 ^∞ (1/(−t))e^(−tx) dx =(1/t) +(1/t)[−(1/t)e^(−tx) ]_0 ^∞ =(1/t) +(1/t^2 ) ⇒ (t^3 +t)L(y) =(1/t) +(1/t^2 ) +t^2 y(0)+t y^′ (0)+y^((2)) (0)+y(0) ⇒L(y) =(1/(t(t^3 +t))) +(1/(t^2 (t^3 +t))) +(t/(t^2 +1))y(0)+(1/(t^2 +1))y^′ (0) +((y(0)+y^((2)) (0))/(t^3 +t)) ⇒ y =L^(−1) ((1/(t(t^3 +t))))+L^(−1) ((1/(t^2 (t^3 +t))))+y(0)L^(−1) ((t/(t^2 +1))) +y^′ (0)L^(−1) ((1/(t^2 +1)))+(y(o)+y^((2)) (0))L^(−1) ((1/(t^3 +t))) let ddcompose f(t) =(1/(t^3 +t)) f(t) =(1/(t(t^2 +1))) =(a/t) +((bt+c)/(t^2 +1)) a =1 lim_(t→+∞) tf(t) =0 =a+b ⇒b=−1 ⇒ f(−t)=−f(t) ⇒−(a/t) +((−bt +c)/(t^2 +1)) =−(a/t) +((−bt−c)/(t^2 +1)) ⇒c=0 ⇒f(t) =(1/t)−(t/(t^2 +1)) ⇒L^(−1) (f(t)) =1−cost also L^(−1) ((1/(t^2 +1))) =sint let decompose g(t) =(1/(t^2 (t^3 +t))) =(1/(t^3 (t^2 +1))) =(a/t) +(b/t^2 ) +(c/t^3 ) +((αt +β)/(t^2 +1)) rest to find those coefficients....be continued...](Q96451.png)
$$\mathrm{y}^{\left(\mathrm{3}\right)} \:+\mathrm{y}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{t}+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{\left(\mathrm{3}\right)} \right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{\left(\mathrm{1}\right)} \right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{ty}^{,} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:+\mathrm{tL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\mathrm{L}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{ty}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\left[\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{−\mathrm{t}}\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{t}}\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{t}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{t}\:\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}\right)}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}\right)}\:+\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}\right)}\right)+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}\right)}\right)+\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right)+\left(\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{t}}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{ddcompose}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}}\:+\frac{\mathrm{bt}+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}\:=\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{tf}\left(\mathrm{t}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(−\mathrm{t}\right)=−\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:\Rightarrow−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}}\:+\frac{−\mathrm{bt}\:+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:=−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}}\:+\frac{−\mathrm{bt}−\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{1}−\mathrm{cost}\:\mathrm{also}\:\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right)\:=\mathrm{sint}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{t}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\:+\frac{\alpha\mathrm{t}\:+\beta}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{those}\:\mathrm{coefficients}....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$