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Question Number 96657 by mathmax by abdo last updated on 03/Jun/20
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:,\:\:\mathrm{2}\pi\:\mathrm{periodic}\:\:\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{fourier}\:\mathrm{serie} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 04/Jun/20
![f(x) =Σ_(n=−∞) ^(+∞) c_n e^(inwx) (w=((2π)/T))⇒w=1 c_n =(1/T)∫_0 ^T f(x)e^(−inwx) dx⇒c_n =(1/(2π)) ∫_(−π) ^π e^(−x) e^(−inx) dx ⇒2π c_n =∫_(−π) ^π e^(−(1+in)x) dx =[−(1/(1+in)) e^(−(1+in)x) ]_(−π) ^π =−(1/(1+in)){ e^(−(1+in)π) −e^((1+in)π) } =−(1/(1+in)){ e^(−π) (−1)^n −e^π (−1)^n }=(((−1)^n )/(1+in))(e^π −e^(−π) ) ⇒ c_n =(((−1)^n )/(1+in))×((e^π −e^(−π) )/(2π)) =((sh(π))/π) ×(((−1)^n )/(1+in)) =((sh(π)(−1)^n (1−in))/(π(1+n^2 ))) ⇒ e^(−x) =((sh(π))/π)Σ_(n=−∞) ^(+∞) (((−1)^n (1−in))/(n^2 +1)) e^(inx)](Q96783.png)
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{c}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{inwx}} \:\:\:\:\:\left(\mathrm{w}=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{T}}\right)\Rightarrow\mathrm{w}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{c}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{T}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{T}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{inwx}} \:\mathrm{dx}\Rightarrow\mathrm{c}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi}\:\int_{−\pi} ^{\pi} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{inx}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\pi\:\mathrm{c}_{\mathrm{n}} =\int_{−\pi} ^{\pi} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{1}+\mathrm{in}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{in}}\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{1}+\mathrm{in}\right)\mathrm{x}} \right]_{−\pi} ^{\pi} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{in}}\left\{\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{1}+\mathrm{in}\right)\pi} −\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}+\mathrm{in}\right)\pi} \right\} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{in}}\left\{\:\mathrm{e}^{−\pi} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{e}^{\pi} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \right\}=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{in}}\left(\mathrm{e}^{\pi} −\mathrm{e}^{−\pi} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{c}_{\mathrm{n}} =\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{in}}×\frac{\mathrm{e}^{\pi} −\mathrm{e}^{−\pi} }{\mathrm{2}\pi}\:=\frac{\mathrm{sh}\left(\pi\right)}{\pi}\:×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{in}}\:=\frac{\mathrm{sh}\left(\pi\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{in}\right)}{\pi\left(\mathrm{1}+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:=\frac{\mathrm{sh}\left(\pi\right)}{\pi}\sum_{\mathrm{n}=−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{in}\right)}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{inx}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20
![let use another way we have f(x) =(a_0 /2) +Σ_(n=1) ^(∞ ) (a_n cos(nwx) +b_n sin(nwx)) but w =1 ⇒f(x) =(a_0 /2) +Σ_(n=1) ^∞ a_n cos(nx) +Σ_(n=1) ^∞ b_n sin(nx) a_n =(2/T)∫_(−(T/2)) ^(T/2) f(x)cos(nx)dx =(1/π)∫_(−π) ^π e^(−x) cos(nx)dx b_n =(2/T)∫_(−(T/2)) ^(T/2) f(x)sin(nx)dx =(1/π) ∫_(−π) ^π e^(−x) sin(nx)dx πa_n =Re(∫_(−π) ^π e^(−x+inx) dx) and ∫_(−π) ^π e^((−1+in)x) dx =[(1/(−1+in))e^((−1+in)x) ]_(−π) ^π =−(1/(1−in)){ e^(−π) (−1)^n −e^π (−1)^n } =(((−1)^n )/(1−in))(e^π −e^(−π) ) =2sh(π)(−1)^n ×((1+in)/(1+n^2 )) ⇒πa_n =((2sh(π)(−1)^n )/(n^2 +1)) ⇒a_n =2 ((shπ)/π)×(((−1)^n )/(n^2 +1)) πb_n =Im(∫_(−π) ^π e^((−1+in)x) dx) =((2sh(π)(−1)^n n)/(n^2 +1)) ⇒b_n =((2shπ)/π) ×((n(−1)^n )/(n^2 +1)) (a_0 /2) =((shπ)/π) ⇒ e^(−x) =((shπ)/π) +2((shπ)/π)Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 +1))cos(nx) +2((shπ)/π)Σ_(n=1) ^∞ ((n(−1)^n )/(n^2 +1))sin(nx) remark if we take x=0 we get 1 =((sh(π))/π) +2 ((shπ)/π) Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 +1)) ⇒(π/(shπ)) =1+2Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 +1)) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/(n^2 +1)) =(1/2)((π/(shπ))−1) also x =π give the value of Σ_(n=0) ^∞ (1/(n^2 +1))](Q96943.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{use}\:\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{2}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty\:} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{nwx}\right)\:+\mathrm{b}_{\mathrm{n}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{nwx}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{w}\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{2}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{b}_{\mathrm{n}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{T}}\int_{−\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} ^{\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\int_{−\pi} ^{\pi} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{b}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{T}}\int_{−\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} ^{\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\:\int_{−\pi} ^{\pi} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\pi\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{Re}\left(\int_{−\pi} ^{\pi} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}+\mathrm{inx}} \mathrm{dx}\right)\:\mathrm{and}\:\int_{−\pi} ^{\pi} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{in}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{1}+\mathrm{in}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{in}\right)\mathrm{x}} \right]_{−\pi} ^{\pi} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{in}}\left\{\:\mathrm{e}^{−\pi} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:−\mathrm{e}^{\pi} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \right\}\:=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}−\mathrm{in}}\left(\mathrm{e}^{\pi} −\mathrm{e}^{−\pi} \right) \\ $$$$=\mathrm{2sh}\left(\pi\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} ×\frac{\mathrm{1}+\mathrm{in}}{\mathrm{1}+\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\pi\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{2sh}\left(\pi\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2}\:\frac{\mathrm{sh}\pi}{\pi}×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\pi\mathrm{b}_{\mathrm{n}} =\mathrm{Im}\left(\int_{−\pi} ^{\pi} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{in}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right)\:=\frac{\mathrm{2sh}\left(\pi\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{b}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{2sh}\pi}{\pi}\:×\frac{\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{2}}\:=\frac{\mathrm{sh}\pi}{\pi}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:=\frac{\mathrm{sh}\pi}{\pi}\:+\mathrm{2}\frac{\mathrm{sh}\pi}{\pi}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{nx}\right)\:+\mathrm{2}\frac{\mathrm{sh}\pi}{\pi}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$\mathrm{remark}\:\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{take}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{sh}\left(\pi\right)}{\pi}\:+\mathrm{2}\:\frac{\mathrm{sh}\pi}{\pi}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{sh}\pi}\:=\mathrm{1}+\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\pi}{\mathrm{sh}\pi}−\mathrm{1}\right)\:\:\mathrm{also}\:\mathrm{x}\:=\pi\:\mathrm{give}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$