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Question Number 96836 by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20

a_n is a sequence wich verify a_(n+1) +a_n =(1/(n+1)) ∀n calculate Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n

$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sequence}\:\mathrm{wich}\:\mathrm{verify}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\forall\mathrm{n} \\ $$$$\mathrm{calculate}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$

Answered by Smail last updated on 05/Jun/20

f(x)=Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =Σ_(n=0) ^∞ ((1/(n+1))−a_(n+1) )x^n =Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n+1))−Σ_(n=0) ^∞ a_(n+1) x^n =−((ln(1−x))/x)−(1/x)(Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n −a_0 )\ only if ∣x∣<1 =((a_0 −ln(1−x))/x)−((f_n (x))/x) f(x)(1+(1/x))=((a_0 −ln(1−x))/x) f(x)=((a_0 −ln(1−x))/(x+1)) a_0 =1−(1/2)+(1/3)−(1/4)+(1/5)...+_− (1/k)

$${f}\left({x}\right)=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} {x}^{{n}} =\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{n}+\mathrm{1}}−{a}_{{n}+\mathrm{1}} \right){x}^{{n}} \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}+\mathrm{1}}−\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}+\mathrm{1}} {x}^{{n}} \\ $$$$=−\frac{{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\left(\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{a}_{{n}} {x}^{{n}} −{a}_{\mathrm{0}} \right)\backslash\:{only}\:{if}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{{a}_{\mathrm{0}} −{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}}−\frac{{f}_{{n}} \left({x}\right)}{{x}} \\ $$$${f}\left({x}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)=\frac{{a}_{\mathrm{0}} −{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{{a}_{\mathrm{0}} −{ln}\left(\mathrm{1}−{x}\right)}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$${a}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}...\underset{−} {+}\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20

how are you sir smail you are absent for a long time in this forum you still stand in usa?

$$\mathrm{how}\:\mathrm{are}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{smail}\:\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{absent}\:\mathrm{for}\:\mathrm{a}\:\mathrm{long}\:\mathrm{time}\:\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{forum} \\ $$$$\mathrm{you}\:\mathrm{still}\:\mathrm{stand}\:\mathrm{in}\:\mathrm{usa}? \\ $$

Commented by Smail last updated on 05/Jun/20

Yes, I am still in the USA. I bought a new phone and I didn′t a chance to install this app until two weeks ago.

$${Yes},\:{I}\:{am}\:{still}\:{in}\:{the}\:{USA}. \\ $$$${I}\:{bought}\:{a}\:{new}\:{phone}\:{and}\:{I}\:{didn}'{t}\:{a}\:{chance} \\ $$$${to}\:{install}\:{this}\:{app}\:{until}\:{two}\:{weeks}\:{ago}. \\ $$

Commented by Smail last updated on 05/Jun/20

How about you? How is your life with this corona crisis?

$${How}\:{about}\:{you}?\:{How}\:{is}\:{your}\:{life}\:{with}\:{this} \\ $$$${corona}\:{crisis}? \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20

i am fine thank you ....

$$\mathrm{i}\:\mathrm{am}\:\mathrm{fine}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:.... \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20

we have a_(n+1) +a_n =(1/(n+1)) ⇒a_(n+1) =(1/(n+1))−a_n ⇒Σ_(n=0) ^∞ a_(n+1) x^n =Σ_(n=0) ^∞ (x^n /(n+1))−Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =Σ_(n=1) ^∞ (x^(n−1) /n) −Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n ⇒ Σ_(n=1) ^∞ a_n x^(n−1) =(1/x)Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n) −Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n ⇒ (1/x)Σ_(n=1) ^∞ a_n x^n +Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =−(1/x)ln(1−x) ⇒ (1/x)(Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n −a_0 )+Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =−((ln(1−x))/x) ⇒ ((1/x)+1)Σ_(n=0) a_n x^n =(a_0 /x)−((ln(1−x))/x) ⇒(x+1)Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =a_0 −ln(1−x) ⇒ Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =(a_0 /(x+1))−((ln(1−x))/(x+1))

$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}}\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \right)+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} \mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} −\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20

another way we can explicit a_n we have a_n +a_(n+1) =(1/(n+1)) ⇒ Σ_(k=0) ^n (−1)^k (a_k +a_(k+1) ) =Σ_(k=0) ^n (((−1)^k )/(k+1)) ⇒ (a_0 +a_1 )−(a_1 +a_2 )+.....(−1)^(n−1) (a_(n−1) +a_n ) +(−1)^n (a_(n ) +a_(n+1) ) =Σ_(k=0) ^n (((−1)^k )/(k+1)) ⇒a_0 +(−1)^n a_(n+1) =Σ_(k=1) ^(n+1) (((−1)^(k−1) )/k) (−1)^n a_(n+1) =−a_0 −Σ_(k=1) ^(n+1) (((−1)^(k−1) )/k) ⇒ a_(n+1) =(−1)^(n+1) a_0 +(−1)^(n+1) Σ_(k=1) ^(n+1) (((−1)^(k−1) )/k) ⇒ a_n =(−1)^n a_0 +(−1)^n Σ_(k=1) ^n (((−1)^(k−1) )/k) (for n>0) ⇒ Σ_(n=0) ^∞ a_n x^n =a_0 Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n x^n +Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n {Σ_(k=1) ^(n ) (((−1)^(k−1) )/k)} x^n =(a_0 /(x+1)) +Σ_(n=0) ^∞ (−1)^(n ) { Σ_(k=1) ^n (((−1)^(k−1) )/k)}x^n

$$\mathrm{another}\:\mathrm{way}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{explicit}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{k}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \right)−\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right)+.....\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)\:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}\:} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}} \\ $$$$\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =−\mathrm{a}_{\mathrm{0}} −\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \:+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\:\:\left(\mathrm{for}\:\mathrm{n}>\mathrm{0}\right)\:\:\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} \:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \left\{\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}\:} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\right\}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{0}} }{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}\:} \left\{\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\right\}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$ \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 05/Jun/20

∣x∣<1

$$\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$

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