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Question Number 97423 by mathmax by abdo last updated on 08/Jun/20

$$\mathrm{solve}{\mathrm{y}}^{{}^{″}}+4\mathrm{y}={\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\mathrm{with}\mathrm{y}\left(0\right)=1\mathrm{and}{\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}\left(0\right)=-1$$

Answered by Rio Michael last updated on 08/Jun/20

$$m^2+4=0\iff m=\pm 2i\Rightarrow y_c=(A\cos 2x+B\sin 2x)$$$$\mathrm{let}y={Cxe}^{-x}+{De}^{-x}\Rightarrow y^{\prime }=-{Cxe}^{-x}+{Ce}^{-x}-{De}^{-x}$$$$\Rightarrow y^{″}={Cxe}^{-x}-{Ce}^{-x}-{Ce}^{-x}+{De}^{-x}={Cxe}^{-x}-2{Ce}^{-x}+{De}^{-x}$$$$\Rightarrow {Cxe}^{-x}-2{Ce}^{-x}+{De}^{-x}={xe}^{-x}$$$$Cx-2C+D=x$$$$\Rightarrow (C-1)x-2C+D=0\Rightarrow C=1\mathrm{and}-2C+D=0\Rightarrow D=2$$$$y_g=A\cos 2x+B\sin 2x+{xe}^{-x}+2e^{-x}$$$$y=1,x=0\Rightarrow 1=A+2\Rightarrow \mathit{A}=-1$$$$y^{\prime }=-2A\sin 2x+2B\cos 2x-{xe}^{-x}+e^{-x}-2e^{-x}$$$$y^{\prime }=-1,x=0\Rightarrow 2B+1-2=-1\Rightarrow \mathit{B}=0$$$$y=-\cos 2x+{xe}^{-x}+2e^{-x}$$$$\mathrm{please}\mathrm{check}$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 08/Jun/20

$$\mathrm{let}\mathrm{solve}\mathrm{by}\mathrm{laplace}\mathrm{transform}$$$$\left(\mathrm{e}\right)\Rightarrow \mathrm{L}\left({\mathrm{y}}^{{}^{″}}\right)+4\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{L}\left({\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\right)\Rightarrow {\mathrm{x}}^2\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)-\mathrm{xy}\left(0\right)-{\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}\left(0\right)+4\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{L}\left({\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\right)$$$$\Rightarrow ({\mathrm{x}}^2+4)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)-\mathrm{x}+1=\mathrm{L}\left({\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\right)\Rightarrow ({\mathrm{x}}^2+4)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{x}-1+\mathrm{L}\left({\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\right)$$$$\mathrm{we}\mathrm{have}\mathrm{L}\left({\mathrm{xe}}^{-\mathrm{x}}\right)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathrm{t}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{t}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{xt}}\mathrm{dt}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\mathrm{t}{\mathrm{e}}^{-(\mathrm{x}+1)\mathrm{t}}\mathrm{dt}$$$${=}_{\mathrm{by}\mathrm{parts}}{[-\frac{1}{\mathrm{x}+1}{\mathrm{e}}^{-(\mathrm{x}+1)\mathrm{t}}]}_0^{\mathrm{\infty }}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{x}+1}{\mathrm{e}}^{-(\mathrm{x}+1)\mathrm{t}}\mathrm{dt}$$$$=\frac{1}{\mathrm{x}+1}+\frac{1}{\mathrm{x}+1}{[-\frac{1}{\mathrm{x}+1}{\mathrm{e}}^{-(\mathrm{x}+1)\mathrm{t}}]}_0^{\mathrm{\infty }}=\frac{1}{\mathrm{x}+1}+\frac{1}{{(\mathrm{x}+1)}^2}\Rightarrow$$$$({\mathrm{x}}^2+4)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{x}-1+\frac{1}{\mathrm{x}+1}+\frac{1}{{(\mathrm{x}+1)}^2}\Rightarrow \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)=\frac{\mathrm{x}-1}{{\mathrm{x}}^2+4}+\frac{1}{(\mathrm{x}+1)({\mathrm{x}}^2+4)}+\frac{1}{{(\mathrm{x}+1)}^2({\mathrm{x}}^2+4)}$$$$\Rightarrow \mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}-1}{{\mathrm{x}}^2+4}\right)+{\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{1}{(\mathrm{x}+1)({\mathrm{x}}^2+4)}\right)+{\mathrm{L}}^{-1}\left(\frac{1}{{(\mathrm{x}+1)}^2({\mathrm{x}}^2+4)}\right)$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}-1}{{\mathrm{x}}^2+4}=\frac{\mathrm{x}-1}{(\mathrm{x}-2\mathrm{i})(\mathrm{x}+2\mathrm{i})}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}-2\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+2\mathrm{i}}$$$$\mathrm{a}=\frac{2\mathrm{i}-1}{4\mathrm{i}}=\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{4}\mathrm{and}\mathrm{b}=\frac{-2\mathrm{i}-1}{-4\mathrm{i}}=\frac{2\mathrm{i}+1}{4\mathrm{i}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4\mathrm{i}}=\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{i}}{4}\Rightarrow$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=(\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{4})\times \frac{1}{\mathrm{x}-2\mathrm{i}}+(\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{i}}{4})\times \frac{1}{\mathrm{x}+2\mathrm{i}}$$$${\mathrm{L}}^{-1}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=(\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{4}){\mathrm{e}}^{2\mathrm{ix}}+(\frac{1}{2}-\frac{\mathrm{i}}{4}){\mathrm{e}}^{-2\mathrm{ix}}(\to \mathrm{at}\mathrm{form}\mathrm{acos}\left(2\mathrm{x}\right)+\mathrm{bsin}\left(2\mathrm{x}\right))$$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{(\mathrm{x}+1)({\mathrm{x}}^2+4)}=\frac{1}{(\mathrm{x}+1)(\mathrm{x}-2\mathrm{i})(\mathrm{x}+2\mathrm{i})}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+1}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}-2\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+2\mathrm{i}}$$$$\mathrm{a}=\frac{1}{(-1-2\mathrm{i})\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}}{(1+2\mathrm{i})}$$$$\mathrm{b}=\frac{1}{(2\mathrm{i}+1)4\mathrm{i}}=\frac{-\mathrm{i}}{4(2\mathrm{i}+1)}\mathrm{and}\mathrm{c}=\frac{1}{(-2\mathrm{i}+1)(-4\mathrm{i})}=\frac{1}{4\mathrm{i}(2\mathrm{i}-1)}=\frac{-\mathrm{i}}{4(2\mathrm{i}-1)}$$$${\mathrm{L}}^{-1}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)={\mathrm{ae}}^{-\mathrm{x}}+\mathrm{b}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{ix}}+\mathrm{c}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{ix}}(\to {\mathrm{ae}}^{-\mathrm{x}}+\alpha \cos \left(2\mathrm{x}\right)+\beta \sin \left(2\mathrm{x}\right))$$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{{(\mathrm{x}+1)}^2({\mathrm{x}}^2+4)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+1}+\frac{\mathrm{b}}{{(\mathrm{x}+1)}^2}+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+2\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{x}-2\mathrm{i}}\Rightarrow$$$${\mathrm{L}}^{-1}\left(\mathrm{h}\right)={\mathrm{ae}}^{-\mathrm{x}}+\mathrm{bx}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+\mathrm{c}{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{ix}}+\mathrm{d}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{ix}}(\to \mathrm{at}\mathrm{form}(\mathrm{a}+\mathrm{bx}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}+\alpha \cos \left(2\mathrm{x}\right)+\mathrm{bsin}\left(2\mathrm{x}\right)$$$$.....$$$$$$

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