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Question Number 976 by 123456 last updated on 11/May/15

{ ((tan x tan (y−z)=a)),((tan y tan (z−x)=b)),((tan z tan (x−y)=c)) :} for wich values of a,b,c the system have solutions? (x,y,z,a,b,c)∈R^6

$$\begin{cases}{\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:\left({y}−{z}\right)={a}}\\{\mathrm{tan}\:{y}\:\mathrm{tan}\:\left({z}−{x}\right)={b}}\\{\mathrm{tan}\:{z}\:\mathrm{tan}\:\left({x}−{y}\right)={c}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{wich}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:{a},{b},{c}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system} \\ $$$$\mathrm{have}\:\mathrm{solutions}? \\ $$$$\left({x},{y},{z},{a},{b},{c}\right)\in\mathbb{R}^{\mathrm{6}} \\ $$

Commented by 123456 last updated on 11/May/15

{ ((((tan x(tan y−tan z))/(tan y tan z+1))=a)),((((tan y(tan z−tan x))/(tan x tan z+1))=b)),((((tan z(tan x−tan y))/(tan x tan y+1))=c)) :} { ((tan x=((a(tan y tan z+1))/(tan y−tan z)))),((tan y=((b(tan x tan z+1))/(tan z−tan x)))),((tan z=((c(tan x tan y+1))/(tan x−tan y)))) :} ((tan x(tan y−tan z))/(tan y tan z+1 ))=a ((tan x[((b(tan x tan z+1))/(tan z−tan x))−((c(tan x tan y+1))/(tan x−tan y))])/(((b(tan x tan z+1))/(tan z−tan x))×((c(tan x tan y+1))/(tan x−tan y))+1))=a

$$\begin{cases}{\frac{\mathrm{tan}\:{x}\left(\mathrm{tan}\:{y}−\mathrm{tan}\:{z}\right)}{\mathrm{tan}\:{y}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}}={a}}\\{\frac{\mathrm{tan}\:{y}\left(\mathrm{tan}\:{z}−\mathrm{tan}\:{x}\right)}{\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}}={b}}\\{\frac{\mathrm{tan}\:{z}\left(\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:{y}\right)}{\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{y}+\mathrm{1}}={c}}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{tan}\:{x}=\frac{{a}\left(\mathrm{tan}\:{y}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{y}−\mathrm{tan}\:{z}}}\\{\mathrm{tan}\:{y}=\frac{{b}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{z}−\mathrm{tan}\:{x}}}\\{\mathrm{tan}\:{z}=\frac{{c}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{y}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:{y}}}\end{cases} \\ $$$$\frac{\mathrm{tan}\:{x}\left(\mathrm{tan}\:{y}−\mathrm{tan}\:{z}\right)}{\mathrm{tan}\:{y}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\:}={a} \\ $$$$\frac{\mathrm{tan}\:{x}\left[\frac{{b}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{z}−\mathrm{tan}\:{x}}−\frac{{c}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{y}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:{y}}\right]}{\frac{{b}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{z}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{z}−\mathrm{tan}\:{x}}×\frac{{c}\left(\mathrm{tan}\:{x}\:\mathrm{tan}\:{y}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:{y}}+\mathrm{1}}={a} \\ $$

Commented by prakash jain last updated on 11/May/15

tan xtan y−tan xtan z=atan ytan z+a tan ytan z−tan ytan x=btan ztan x+b tan ztan x−tan ztan y=ctan xtan y+c tan xtan y=u tan ytan z=v tan ztan x=w u−w=av+1⇒u−av−w=a v−u=bw+1⇒−u+v−bw=b w−v=cu+1⇒−cu−v−w=c D= determinant ((1,(−a),(−1)),((−1),1,(−b)),((−c),(−1),1)) =(1−b)+a(−1−bc)−1(1+c) =1−b−a−abc−1−c =−abc−a−b−c The equation in u, v, w is consistent if a+b+c+abc≠0

$$\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{y}−\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{z}={a}\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{z}+{a} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{z}−\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{x}={b}\mathrm{tan}\:{z}\mathrm{tan}\:{x}+{b} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{z}\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{tan}\:{z}\mathrm{tan}\:{y}={c}\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{y}+{c} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{y}={u} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{z}={v} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{z}\mathrm{tan}\:{x}={w} \\ $$$${u}−{w}={av}+\mathrm{1}\Rightarrow{u}−{av}−{w}={a} \\ $$$${v}−{u}={bw}+\mathrm{1}\Rightarrow−{u}+{v}−{bw}={b} \\ $$$${w}−{v}={cu}+\mathrm{1}\Rightarrow−{cu}−{v}−{w}={c} \\ $$$${D}=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}}&{−{a}}&{−\mathrm{1}}\\{−\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}&{−{b}}\\{−{c}}&{−\mathrm{1}}&{\mathrm{1}}\end{vmatrix} \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−{b}\right)+{a}\left(−\mathrm{1}−{bc}\right)−\mathrm{1}\left(\mathrm{1}+{c}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}−{b}−{a}−{abc}−\mathrm{1}−{c} \\ $$$$=−{abc}−{a}−{b}−{c} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{in}\:{u},\:{v},\:{w}\:{is}\:\mathrm{consistent}\:\mathrm{if} \\ $$$${a}+{b}+{c}+{abc}\neq\mathrm{0} \\ $$

Answered by prakash jain last updated on 11/May/15

tan xtan y=u tan ytan z=v tan ztan x=w (tan xtan ytan z)^2 =uvw tan^2 x=((uw)/v) , tan^2 y=...etc

$$\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{y}={u} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{z}={v} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{z}\mathrm{tan}\:{x}={w} \\ $$$$\left(\mathrm{tan}\:{x}\mathrm{tan}\:{y}\mathrm{tan}\:{z}\right)^{\mathrm{2}} ={uvw} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {x}=\frac{{uw}}{{v}}\:,\:\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} {y}=...{etc} \\ $$

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