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Question Number 97619 by mathmax by abdo last updated on 08/Jun/20

calculate ∫_0 ^∞ ((cos(3x))/((x^2 +3)^2 ))dx

$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jun/20

I =∫_0 ^∞ ((cos(3x))/((x^2 +3)^2 ))dx changement x =(√3)t give I =∫_0 ^∞ ((cos(3(√3)t))/(9(t^2 +1)^2 ))(√3)dt =((√3)/9) ∫_0 ^∞ ((cos(3(√3)t))/((t^2 +1)^2 ))dt =((√3)/(18)) ∫_(−∞) ^(+∞) ((cos(3(√3)t))/((t^2 +1)^2 ))dt =((√3)/(18)) Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(3(√3)it) /((t^2 +1)^2 ))) let considere the complex function ϕ(z) =(e^(3i(√3)z) /((z^2 +1)^2 )) ⇒ ϕ(z) =(e^(3i(√3)z) /((z−i)^2 (z+i)^2 )) residus tbeorem give ∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ Res(ϕ,i) Res(ϕ,i) =lim_(z→i) (1/((2−1)!)){(z−i)^2 ϕ(z)}^((1)) =lim_(z→i) { (e^(3i(√3)z) /((z+i)^2 ))}^((1)) =lim_(z→i) ((3i(√3)e^(3i(√3)z) (z+i)^2 −2(z+i)e^(3i(√3)z) )/((z+i)^4 )) =lim_(z→i) (((3i(√3)(z+i)−2)e^(3i(√3)z) )/((z+i)^3 )) =(((−6(√3)−2) e^(−3(√3)) )/((2i)^3 )) =(((−6(√3)−2)e^(−3(√3)) )/(−8i)) =(((3(√3)+1)e^(−3(√3)) )/(4i)) ⇒∫_(−∞) ^(+∞) ϕ(z)dz =2iπ×(((3(√3)+1)e^(−3(√3)) )/(4i)) =(π/2)(3(√3)+1)e^(−3(√3)) ⇒ I =((√3)/(18))×(π/2)(3(√3)+1)e^(−3(√3)) =((π(√3))/(36))(3(√3)+1)e^(−3(√3))

$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}\:=\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{t}\:\mathrm{give}\:\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{t}\right)}{\mathrm{9}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{9}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{t}\right)}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{18}}\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{cos}\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{t}\right)}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{18}}\:\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{it}} }{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{considere}\:\mathrm{the}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{function}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{residus}\:\mathrm{tbeorem}\:\mathrm{give} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{i}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\left\{\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{e}^{\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}} \left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{i}} \:\:\:\:\:\frac{\left(\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{3i}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{z}} }{\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\left(−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}\right)\:\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} }{\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\left(−\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} }{−\mathrm{8i}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} }{\mathrm{4i}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} }{\mathrm{4i}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{18}}×\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:=\frac{\pi\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{36}}\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$

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