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Question Number 97797 by abdomathmax last updated on 09/Jun/20

solve y^(′′) −y = x

$$\mathrm{solve}\:\mathrm{y}^{''} \:−\mathrm{y}\:=\:\mathrm{x} \\ $$

Answered by niroj last updated on 09/Jun/20

y^(′′) −y = x (D^2 −1)y= x A.E.,m^2 −1=0 m=+^− 1 CF= C_1 e^x +C_2 e^(−x) y_1 =e^x , y_2 =e^(−x) , Q=x W= determinant (((e^x e^(−x) )),((e^x −e^(−x) ))) W= −e^(−x) .e^x −e^(−x) .e^x =−2 PI= −y_1 ∫((y_2 Q)/W)dx +y_2 ∫((y_1 Q)/W)dx = −e^x ∫((e^(−x) x)/(−2))dx+ e^(−x) ∫((e^x x)/(−2))dx = (e^x /2){x.(−e^(−x) )−∫1.(−e^x )dx}−(e^(−x) /2){x.e^x −∫1.e^x dx} = (e^x /2)(−xe^(−x) +e^x )−(e^(−x) /2)(xe^x −e^x ) = (1/2)(−xe^(x−x) +e^(2x) −xe^(x−x) +e^(x−x) ) = (1/2)(2e^(2x) −2x)= e^(2x) −x ∴ y= C_1 e^x +C_2 e^(−x) +e^(2x) −x //.

$$\:\mathrm{y}^{''} −\mathrm{y}\:=\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{y}=\:\mathrm{x} \\ $$$$\:\:{A}.{E}.,\mathrm{m}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{m}=\overset{−} {+}\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\mathrm{C}{F}=\:\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:,\:\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} ,\:\mathrm{Q}=\mathrm{x} \\ $$$$\:\:\mathrm{W}=\:\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{W}=\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} .\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} .\mathrm{e}^{\mathrm{x}} =−\mathrm{2} \\ $$$$\:\mathrm{PI}=\:−\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \int\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \mathrm{Q}}{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:+\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \int\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \mathrm{Q}}{\mathrm{W}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:=\:−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \int\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{x}}{−\mathrm{2}}\mathrm{dx}+\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \int\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{x}}{−\mathrm{2}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{x}.\left(−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)−\int\mathrm{1}.\left(−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\mathrm{dx}\right\}−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{x}.\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\int\mathrm{1}.\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\left(\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right) \\ $$$$=\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{xe}^{\mathrm{x}−\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{xe}^{\mathrm{x}−\mathrm{x}} +\mathrm{e}^{\mathrm{x}−\mathrm{x}} \right) \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{2x}\right)=\:\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{x} \\ $$$$\:\therefore\:\mathrm{y}=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{e}^{\mathrm{x}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{e}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{x}\://. \\ $$$$\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Jun/20

(he)→y^(′′) −y =0 →r^2 −1=0 ⇒r =+^− 1 ⇒y_h =αe^x +β e^(−x) =αu_1 +βu_2 W(u_1 ,u_2 ) = determinant (((u_1 u_2 )),((u_1 ^′ u_2 ^′ )))= determinant (((e^x e^(−x) )),((e^x −e^(−x) )))=−2 W_1 = determinant (((0 e^(−x) )),((x −e^(−x) )))=−xe^(−x) and W_2 = determinant (((e^x 0)),((e^x x)))=xe^x v_1 =∫ (w_1 /w)dx =∫ ((−xe^(−x) )/(−2))dx =(1/2)∫ xe^(−x) dx =(1/2){− xe^(−x) +∫ e^(−x) dx} =−(1/2)(x+1)e^(−x) v_2 =∫ (w_2 /w)dx =∫ ((xe^x )/(−2))dx =−(1/2) ∫ xe^x dx =−(1/2){ xe^x −e^x } =(1/2)(1−x)e^x so the particular solution is y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 =−(1/2)(x+1)+(1/2)(1−x) =−x the general solution is y(x) =y_h +y_p =αe^x +β e^(−x) −x

$$\left(\mathrm{he}\right)\rightarrow\mathrm{y}^{''} −\mathrm{y}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}\:=\overset{−} {+}\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\beta\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:=\alpha\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\beta\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)\:=\begin{vmatrix}{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ^{'} \:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{u}_{\mathrm{2}} ^{'} }\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}}\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} }{−\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{−\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:+\int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{dx}\right\} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} }{−\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right\}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\:=−\mathrm{x}\:\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \:=\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\beta\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:−\mathrm{x} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 10/Jun/20

let solve it by laplace e⇒L(y^(′′) )−L(y) =L(x) ⇒x^2 L(y)−xy(o)−y^′ (0)−L(y) =L(x) ⇒ (x^2 −1)L(y) =xy(0)+y^′ (0)+L(x) we have L(x)=∫_0 ^∞ t e^(−xt) dt =[−(t/x) e^(−xt) ]_(t=0) ^∞ +(1/x)∫_0 ^∞ e^(−xt) dt =−(1/x^2 )[e^(−xt) ]_(t=0) ^∞ =(1/x^2 ) (also we can use L(x^n ) =((n!)/x^(n+1) )) e ⇒(x^2 −1)L(y) =xy(o)+y^′ (0)+(1/x^2 ) ⇒ L(y) =(x/(x^2 −1))y(0) +((y^′ (0))/(x^2 −1)) +(1/(x^2 (x−1))) ⇒y(x) =y(0)L^(−1) ((x/(x^2 −1)))+y^′ (0)L^(−1) ((1/(x^2 −1))) +L^(−1) ((1/(x^2 (x−1)))) we havef(x) (x/(x^2 −1)) =(1/2)x((1/(x−1))−(1/(x+1))) =(1/2)((x/(x−1))−(x/(x+1))) =(1/2)(((x−1+1)/(x−1))−((x+1−1)/(x+1)))=(1/2)((1/(x−1))+(1/(x+1))) ⇒ L^(−1) (f)=(1/2)e^x +(1/2) e^(−x) g(x) =(1/(x^2 −1)) =(1/2)((1/(x−1))−(1/(x+1)))⇒L^(−1) (g) =(1/2)e^x −(1/2)e^(−x) h(x) =(1/(x^2 (x−1))) =(a/x) +(b/x^2 ) +(c/(x−1)) b =−1 , c =1 lim_(x→+∞) xh(x) =0 =a+c ⇒a=−1 ⇒ h(x) =−(1/x)−(1/x^2 ) +(1/(x−1)) ⇒L^(−1) (h) =−1−x +e^x ⇒ y(x) =y(0){((e^x +e^(−x) )/2)} +y^′ (0){((e^x −e^(−x) )/2)} −1 −x+e^x =(((y(o)+y^′ (0))/2)+1)e^x +(((y(0)−y^′ (0))/2))e^(−x) −x−1

$$\mathrm{let}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{it}\:\mathrm{by}\:\mathrm{laplace}\: \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)−\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{xy}\left(\mathrm{o}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{xy}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\left[−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{x}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \right]_{\mathrm{t}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left[\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \right]_{\mathrm{t}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left(\mathrm{also}\:\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{use}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right)\:=\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\right)\:\mathrm{e}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{xy}\left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\:+\frac{\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\right) \\ $$$$+\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{havef}\left(\mathrm{x}\right)\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{f}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\right)\Rightarrow\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{g}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{b}\:=−\mathrm{1}\:\:,\:\:\mathrm{c}\:=\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xh}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{a}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{h}\right)\:=−\mathrm{1}−\mathrm{x}\:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\right\}\:+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{2}}\right\}\:−\mathrm{1}\:−\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:+\left(\frac{\mathrm{y}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

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