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Question Number 97968 by HamraboyevFarruxjon last updated on 11/Jun/20

$$ \\ $$

Commented by 06122004 last updated on 10/Jun/20

Osonmasmi ��

Answered by 1549442205 last updated on 11/Jun/20

Applying Bunhiacopxky′s inequality: (a_1 x_1 +a_2 x_2 +...+a_n x_n )^2 ≤(a_1 ^2 +a_2 ^2 +...+a_n ^2 )(x_1 ^2 +x_2 ^2 +...+x_n ^2 )we have (a_1 +a_2 +...+a_n )^2 =((√(a_1 /(a_2 +a_3 ))) .(√(a_1 (a_2 +a_3 ))) +(√(a_2 /(a_3 +a_4 ))) .(√(a_2 (a_3 +a_4 ))) +...+(√((a_n /(a_1 +a_2 )) )) .(√(a_n (a_1 +a_2 ))) )^2 ≤((a_1 /(a_2 +a_3 ))+(a_2 /(a_3 +a_4 ))+...+(a_n /(a_1 +a_2 )))(a_1 a_2 +a_1 a_3 +...+a_n a_1 +a_n a_2 ) we get (a_1 /(a_2 +a_3 ))+(a_2 /(a_3 +a_4 ))+...+(a_n /(a_1 +a_2 ))≥(((a_1 +a_1 +...+a_n )^2 )/(a_1 a_2 +a_1 a_3 +...+a_n a_1 +a_n a_2 )). Now we need to prove that (((a_1 +a_1 +...+a_n )^2 )/(a_1 a_2 +a_1 a_3 +...+a_n a_1 +a_n a_2 ))≥(n/2)⇔2(a_1 +a_1 +...+a_n )^2 ≥n(a_1 a_2 +a_1 a_3 +...+a_n a_1 +a_n a_2 ) ⇔2(a_1 ^2 +a_2 ^2 +...+a_n ^2 )−2Σ_(i≠j) a_i a_j =(a_1 −a_2 )^2 +(a_2 −a_3 )^2 +...+(a_n −a_1 )^2 ≥0 The equlity sign occurs if and only if a_1 =a_2 =...=a_n (q.e.d)

$$\mathrm{Applying}\:\mathrm{Bunhiacopxky}'\mathrm{s}\:\mathrm{inequality}: \\ $$$$\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}_{\mathrm{2}} +...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{x}_{\mathrm{n}} \right)^{\mathrm{2}} \leqslant\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \:+...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +...+\mathrm{x}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} +...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)^{\mathrm{2}} =\left(\sqrt{\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{3}} }}\:.\sqrt{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{3}} \right)}\:+\sqrt{\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{3}} +\mathrm{a}_{\mathrm{4}} }}\:.\sqrt{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{3}} +\mathrm{a}_{\mathrm{4}} \right)}\:+...+\sqrt{\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} }\:}\:.\sqrt{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right)}\:\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\leqslant\left(\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{3}} +\mathrm{a}_{\mathrm{4}} }+...+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} }\right)\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{3}} +...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{3}} +\mathrm{a}_{\mathrm{4}} }+...+\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} }\geqslant\frac{\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{3}} +...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} }. \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{we}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{3}} +...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} }\geqslant\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\Leftrightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{a}_{\mathrm{3}} +...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +...+\mathrm{a}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{2}\underset{\mathrm{i}\neq\mathrm{j}} {\Sigma}\mathrm{a}_{\mathrm{i}} \mathrm{a}_{\mathrm{j}} =\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{a}_{\mathrm{2}} −\mathrm{a}_{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} +...+\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}} −\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{equlity}\:\mathrm{sign}\:\mathrm{occurs}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{only}\:\mathrm{if}\: \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =...=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \:\left(\mathrm{q}.\mathrm{e}.\mathrm{d}\right) \\ $$

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