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Question Number 97981 by abdomathmax last updated on 10/Jun/20
$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\:\int_{\mathrm{x}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jun/20
![let F(x) =∫_(x−1) ^(x^2 −1) (dt/(ln(t+1))) cha7gement ln(t+1)=u give t+1 =e^u F(x) =∫_(ln(x)) ^(ln(x^2 )) (e^u /u) du =∫_(ln(x)) ^(2ln(x)) (e^u /u) du ∃ c ∈]ln(x),2ln(x) / F(x) =e^c ∫_(ln(x)) ^(2ln(x)) (du/u) =e^c ln∣((2lnx)/(lnx))∣ (x→1^+ ⇒c→0+) ⇒lim_(x→1^+ ) F(x) =ln(2)](Q98101.png)
$$\mathrm{let}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{x}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{cha7gement}\:\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{u}\:\mathrm{give}\:\mathrm{t}+\mathrm{1}\:=\mathrm{e}^{\mathrm{u}} \\ $$$$\left.\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)} ^{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} }{\mathrm{u}}\:\mathrm{du}\:=\int_{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)} ^{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{u}} }{\mathrm{u}}\:\mathrm{du}\:\:\:\exists\:\mathrm{c}\:\in\right]\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right),\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)\:/ \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{e}^{\mathrm{c}} \:\int_{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)} ^{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{x}\right)} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}}\:=\mathrm{e}^{\mathrm{c}} \:\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{2lnx}}{\mathrm{lnx}}\mid\:\:\left(\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} \:\Rightarrow\mathrm{c}\rightarrow\mathrm{0}+\right)\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$