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Question Number 98104 by bemath last updated on 11/Jun/20

Determine the value of x+y if { ((x^3 +y^3 =1)),(((x+y)(x+1)(y+1)=2)) :}

$$\mathrm{Determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}\: \\ $$$$\mathrm{if}\:\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$

Commented by bemath last updated on 12/Jun/20

thank you all

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{all}\: \\ $$

Answered by mr W last updated on 11/Jun/20

u=x+y v=xy x^3 +y^3 =(x+y)^3 −3xy(x+y)=1 ⇒u^3 −3uv=1 ⇒v=((u^3 −1)/(3u)) (x+y)(xy+x+y+1)=2 ⇒u(u+v+1)=2 ⇒u(u+((u^3 −1)/(3u))+1)=2 ⇒u^3 +3u^2 +3u−1=6 ⇒u^3 +3u^2 +3u+1=8 ⇒(u+1)^3 =8=2^3 ⇒u+1=2, 2ω, 2ω^2 ⇒u=x+y=1 (real) ⇒u=x+y=2ω−1=−2+i(√3) ⇒u=x+y=2ω^2 −1=−2−i(√3)

$${u}={x}+{y} \\ $$$${v}={xy} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} =\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{xy}\left({x}+{y}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{uv}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{v}=\frac{{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}{u}} \\ $$$$\left({x}+{y}\right)\left({xy}+{x}+{y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{u}\left({u}+{v}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{u}\left({u}+\frac{{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{\mathrm{3}{u}}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{u}−\mathrm{1}=\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{u}+\mathrm{1}=\mathrm{8} \\ $$$$\Rightarrow\left({u}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{8}=\mathrm{2}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{u}+\mathrm{1}=\mathrm{2},\:\mathrm{2}\omega,\:\mathrm{2}\omega^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{u}={x}+{y}=\mathrm{1}\:\left({real}\right) \\ $$$$\Rightarrow{u}={x}+{y}=\mathrm{2}\omega−\mathrm{1}=−\mathrm{2}+{i}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow{u}={x}+{y}=\mathrm{2}\omega^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=−\mathrm{2}−{i}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$

Commented by Lekhraj last updated on 11/Jun/20

(u+1)^3 =8

$$\left({u}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{8} \\ $$

Commented by mr W last updated on 11/Jun/20

yes

$${yes} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 11/Jun/20

if { ((x^3 +y^3 =1.......................(i))),(((x+y)(x+1)(y+1)=2.....(ii))) :} (ii)⇒ xy=(2/(x+y))−(x+y)−1.....(iii) (i)⇒ (x+y)^3 −3xy(x+y)=1......(iv) (iii)&(iv)⇒ (x+y)^3 −3((2/(x+y))−(x+y)−1)(x+y)=1 (x+y)^3 −3(2−(x+y)^2 −(x+y))=1 (x+y)^3 −6+3(x+y)^2 +3(x+y))=1 (x+y)^3 +3(x+y)^2 +3(x+y)−7=0 t^3 +3t^2 +3t−7=0 −7=(±1)(∓7) t=1 satisfy the equation x+y=1 ∴t−1 is factor of t^3 +3t^2 +3t−7 (((1)),1,3,3,(−7)),(,,1,4,( 7)),(,1,4,7,( 0)) ) t^2 +4t+7=0 t=((−4±(√(16−28)))/2) t=((−4±2i(√3))/2) x+y=((−4±2i(√3))/2)=−2±i(√3) x+y=1, −2±i(√3)

$$\mathrm{if}\:\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}.......................\left(\mathrm{i}\right)}\\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}.....\left(\mathrm{ii}\right)}\end{cases} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\Rightarrow \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{xy}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{1}.....\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{1}......\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\&\left(\mathrm{iv}\right)\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{2}−\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\left.\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{6}+\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{7}=\left(\pm\mathrm{1}\right)\left(\mp\mathrm{7}\right) \\ $$$$\mathrm{t}=\mathrm{1}\:\mathrm{satisfy}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{1} \\ $$$$\therefore\mathrm{t}−\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{factor}\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\:\:\begin{pmatrix}{\left.\mathrm{1}\right)}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{3}}&{−\mathrm{7}}\\{}&{}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{\:\:\:\:\mathrm{7}}\\{}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{7}}&{\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\end{pmatrix} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4t}+\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{t}=\frac{−\mathrm{4}\pm\sqrt{\mathrm{16}−\mathrm{28}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{t}=\frac{−\mathrm{4}\pm\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{4}\pm\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{2}\pm\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{1},\:−\mathrm{2}\pm\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$

Answered by 1549442205 last updated on 11/Jun/20

(2)⇔(x+y)[xy+(x+y)+1]=2 (1)⇔(x+y)^3 −3xy(x+y)=1 Put x+y=u,xy=v we have { ((u^3 −3uv=1(3))),((u(u+v+1)=2(4))) :} From (4) we ger uv=2−u^2 −u.Replace into (3) we get u^3 −3(2−u^2 −u)=1⇔u^3 +3u^2 +3u−7=9 ⇔(u−1)(u^2 +4u+7)=0⇔u−1=0(as u^2 +4u+7=(u+2)^2 +3>0) ,so u=1,replace into (4) we get v=0.We have { ((x+y=1)),((xy=0)) :}⇔(x;y)∈{(0;1);(1;0)} Thus,our system of equations has two soluions:(x;y)∈{(0;1);(1;0)}

$$\left(\mathrm{2}\right)\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)\left[\mathrm{xy}+\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)+\mathrm{1}\right]=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3xy}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Put}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{u},\mathrm{xy}=\mathrm{v}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have\begin{cases}{\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3uv}=\mathrm{1}\left(\mathrm{3}\right)}\\{\mathrm{u}\left(\mathrm{u}+\mathrm{v}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{4}\right)}\end{cases}} \\ $$$$\mathrm{From}\:\left(\mathrm{4}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{ger}\:\mathrm{uv}=\mathrm{2}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}.\mathrm{Replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{2}−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{u}\right)=\mathrm{1}\Leftrightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3u}−\mathrm{7}=\mathrm{9} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{7}\right)=\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{u}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\left(\mathrm{as}\:\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4u}+\mathrm{7}=\left(\mathrm{u}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$,\mathrm{so}\:\mathrm{u}=\mathrm{1},\mathrm{replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{4}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{v}=\mathrm{0}.\mathrm{We}\:\mathrm{have} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{1}}\\{\mathrm{xy}=\mathrm{0}}\end{cases}\Leftrightarrow\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)\in\left\{\left(\mathrm{0};\mathrm{1}\right);\left(\mathrm{1};\mathrm{0}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{our}\:\mathrm{system}\:\mathrm{of}\:\mathrm{equations}\:\mathrm{has}\:\mathrm{two} \\ $$$$\mathrm{soluions}:\left(\boldsymbol{\mathrm{x}};\boldsymbol{\mathrm{y}}\right)\in\left\{\left(\mathrm{0};\mathrm{1}\right);\left(\mathrm{1};\mathrm{0}\right)\right\} \\ $$$$ \\ $$

Answered by MJS last updated on 11/Jun/20

x=u−v∧y=u+v { ((2u^3 +6uv^2 −1=0)),((2(u^3 +2u^2 +u−1)−2uv^2 =0)) :} ⇒ v^2 =((1−2u^3 )/(6u))=((u^3 +2u^2 +u−1)/u) ⇒ u^3 +(3/2)u^2 +(3/4)u−(7/8)=0 u=t−(1/2) t^3 −1=0 t=1∨t=−(1/2)±((√3)/2)i u=(1/2)∨u=−1±((√3)/2)i x=u−v∧y=u+v ⇒ x+y=2u answer is 1∨−2±(√3)i

$${x}={u}−{v}\wedge{y}={u}+{v} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{2}{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{uv}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{2}\left({u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} +{u}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}{uv}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${v}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2}{u}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}{u}}=\frac{{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} +{u}−\mathrm{1}}{{u}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${u}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{u}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}{u}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{8}}=\mathrm{0} \\ $$$${u}={t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\mathrm{1}\vee{t}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{i} \\ $$$${u}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\vee{u}=−\mathrm{1}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{i} \\ $$$${x}={u}−{v}\wedge{y}={u}+{v}\:\Rightarrow\:{x}+{y}=\mathrm{2}{u} \\ $$$$\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{1}\vee−\mathrm{2}\pm\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{i} \\ $$

Answered by maths mind last updated on 11/Jun/20

(x+y)(x+1)(y+1) =(x+y)(xy+x+y+1) ={xy(x+y)+(x+y)^2 +(x+y)=2}×3..E x^3 +y^3 =1..G E+G=(x+y)^3 +3(x+y)^2 +3(x+y)=7 ⇔(x+y)^3 +3(x+y)^2 +3(x+y)+1=8 ⇔(1+x+y)^3 =8⇒1+x+y=2e^(i((2kπ)/3)) ⇒x+y=2e^(i((kπ)/3)) −1,k∈{0,1,2}

$$\left({x}+{y}\right)\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left({x}+{y}\right)\left({xy}+{x}+{y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left\{{xy}\left({x}+{y}\right)+\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}+{y}\right)=\mathrm{2}\right\}×\mathrm{3}..{E} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} +{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{1}..{G} \\ $$$${E}+{G}=\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({x}+{y}\right)=\mathrm{7} \\ $$$$\Leftrightarrow\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}\left({x}+{y}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\left({x}+{y}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{8} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{1}+{x}+{y}\right)^{\mathrm{3}} =\mathrm{8}\Rightarrow\mathrm{1}+{x}+{y}=\mathrm{2}{e}^{{i}\frac{\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\Rightarrow{x}+{y}=\mathrm{2}{e}^{{i}\frac{{k}\pi}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1},{k}\in\left\{\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{2}\right\} \\ $$$$ \\ $$

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