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Question Number 98188 by abdomathmax last updated on 12/Jun/20

let f(x) =((arctan(2x))/(x+3)) 1) calculate f^((n)) (x) snd f^((n)) (0) 2) developp f at integr serie

$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{snd}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{developp}\:\mathrm{f}\:\mathrm{at}\:\mathrm{integr}\:\mathrm{serie} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Jun/20

1) we have f^((n)) (x) =Σ_(k=0) ^n C_n ^k (arctan(2x))^((k)) ×((1/(x+3)))^((n−k)) =arctan(2x)×(((−1)^n n!)/((x+3)^(n+1) )) +Σ_(k=1) ^n C_n ^k (arctan(2x))^((k)) ×(((−1)^(n−k) (n−k)!)/((x+3)^(n−k+1) )) let determine (arctan(2x))^((k)) we have (arctan(2x))^((1)) =(2/(1+4x^2 )) =(2/(4(x^2 +(1/4)))) =(1/(2(x−(i/2))(x+(i/2)))) =(1/(2i))((1/(x−(i/2)))−(1/(x+(i/2)))) ⇒(arctan(2x))^((k)) =(1/(2i)){ ((1/(x−(i/2))))^((k−1)) −((1/(x+(i/2))))^(k−1) } =(1/(2i)){ (((−1)^(k−1) (k−1)!)/((x−(i/2))^k ))−(((−1)^(k−1) (k−1)!)/((x+(i/2))^k ))} =(((−1)^(k−1) (k−1)!)/(2i)){ ((2i Im(x+(i/2))^k )/((x^2 +(1/4))^k ))} =(((−1)^(k−1) (k−1)! Im(x+(i/2))^k )/((x^2 +(1/4))^k )) ⇒ f^((n)) (x) =(((−1)^n n!)/((x+3)^(n+1) )) arctan(2x) +Σ_(k=1) ^n (−1)^(n−k) (n−k)!C_n ^k ×(((−1)^(k−1) (k−1)! Im(x+(i/2))^k )/((x^2 +(1/4))^k (x+3)^(n−k+1) )) =(((−1)^n n!)/((x+3)^(n+1) )) arctan(2x) +Σ_(k=1) ^n (−1)^(n−1) (n−k)!((n!)/(k!(n−k)!))(k−1)! ×((Im(x+(i/2))^k )/((x^2 +(1/4))^k (x+3)^(n−k+1) )) ⇒ f^((n)) (x)=(((−1)^n n!)/((x+3)^(n+1) )) arctan(2x) +Σ_(k=1) ^n (−1)^(n−1) ((n!)/k)×((Im(x+(i/2))^k )/((x^2 +(1/4))^k (x+3)^(n−k+1) ))

$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} ×\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{3}}\right)^{\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)} \\ $$$$=\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} ×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} } \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{determine}\:\left(\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} \:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\left(\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)\right)^{\left(\mathrm{1}\right)} \:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}}\right)\:\Rightarrow\left(\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)\right)^{\left(\mathrm{k}\right)} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\left\{\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}}\right)^{\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)} −\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}\left\{\:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} }−\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} }\right\} \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2i}}\left\{\:\frac{\mathrm{2i}\:\mathrm{Im}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{k}} }\right\}\:=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!\:\mathrm{Im}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{k}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}} \:\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!\mathrm{C}_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{k}} \:\:×\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!\:\mathrm{Im}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} } \\ $$$$=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{n}!}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{k}!\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)!}\left(\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)!\:×\frac{\mathrm{Im}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{k}}×\frac{\mathrm{Im}\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{k}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} } \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 13/Jun/20

f^((n)) (0) =Σ_(k=1) ^n (((−1)^(n−1) n!)/k) ×((Im((i/2))^k )/(((1/4))^k .3^(n−k+1) )) =Σ_(k=1) ^n (((−1)^(n−1) n!)/k).(4^k /3^(n−k+1) )×(1/2^k ) sin(((kπ)/2)) =Σ_(k=1) ^n (((−1)^(n−1) n!)/(k .3^(n−k+1) )).2^k sin(((kπ)/2)) 2) f(x) =Σ_(n=0) ^∞ ((f^((n)) (0))/(n!)) x^n =f(0) +Σ_(n=1) ^∞ (−1)^(n−1) (Σ_(k=1) ^n (2^k /(k.3^(n−k+1) )) sin(((kπ)/2)))x^n =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^(n−1) )/3^n )(Σ_(k=1) ^n ((2^k .3^(k−1) )/k) sin(((kπ)/2)))x^n

$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}!}{\mathrm{k}}\:×\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{k}} }{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{k}} .\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} } \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}!}{\mathrm{k}}.\frac{\mathrm{4}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} }×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{k}} }\:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}\right)\: \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \mathrm{n}!}{\mathrm{k}\:.\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} }.\mathrm{2}^{\mathrm{k}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{f}^{\left(\mathrm{n}\right)} \left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{n}!}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}.\mathrm{3}^{\mathrm{n}−\mathrm{k}+\mathrm{1}} }\:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{n}} }\left(\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{2}^{\mathrm{k}} .\mathrm{3}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} }{\mathrm{k}}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{k}\pi}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$

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