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Question Number 98189 by abdomathmax last updated on 12/Jun/20
$$\mathrm{let}\:\xi\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{x}} } \\ $$$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{x}\right) \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Jun/20
![the function t→(1/t^x ) is decreazing on ]1,+∞[ so Σ_(k=2) ^n ∫_k ^(k+1) (dt/t^x ) ≤ Σ_(k=2) ^n (1/k^x ) ≤Σ_(k=2) ^n ∫_(k−1) ^k (dt/t^x ) ⇒ ∫_2 ^(n+1) (dt/t^x ) ≤ ξ_n (x) ≤∫_1 ^n (dt/t^x ) we have ∫_2 ^(n+1) (dt/t^x ) =∫_2 ^(n+1) t^(−x) dt =[(1/(1−x))t^(−x+1) ]_2 ^(n+1) =(1/(1−x)){ (1/((n+1)^(x−1) ))−(1/2^(x−1) )} =(1/((x−1))){(1/2^(x−1) )−(1/((n+1)^(x−1) ))} ∫_1 ^n t^(−x) dt =[(1/(−x+1)) t^(−x+1) ]_1 ^n =(1/(1−x))[ (1/t^(x−1) )]_1 ^n =(1/(1−x)){(1/n^(x−1) )−1} =(1/(x−1)){1−(1/n^(x−1) )} ⇒ (1/(x−1)){(1/2^(x−1) )−(1/((n+1)^(x−1) ))} ≤ Σ_(k=1) ^n (1/k^x )−1 ≤(1/(x−1)){1−(1/n^(x−1) )} ⇒ ∀x>1 (1/2^(x−1) ) −(1/((n+1)^(x−1) )) ≤(x−1)ξ_n (x)−(x−1)≤1−(1/n^(x−1) ) ⇒ ⇒(1/2^(x−1) ) ≤ (x−1)ξ(x)−(x−1)≤ 1 ⇒lim_(x→1^+ ) (1/2^(x−1) ) ≤lim_(x→1^+ ) (x−1)ξ(x)≤1 ⇒lim_(x→1^+ ) (x−1)ξ(x) =1](Q98252.png)
$$\left.\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\:\mathrm{t}\rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{x}} }\:\mathrm{is}\:\:\mathrm{decreazing}\:\mathrm{on}\:\right]\mathrm{1},+\infty\left[\:\:\mathrm{so}\right. \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \int_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{x}} }\:\leqslant\:\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{x}} }\:\leqslant\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{x}} }\:\:\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{x}} }\:\leqslant\:\xi_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)\:\leqslant\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{x}} }\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\:\int_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{x}} }\:=\int_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{t}^{−\mathrm{x}+\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\right\}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\right\} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\mathrm{t}^{−\mathrm{x}+\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\left[\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\right]_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }−\mathrm{1}\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\right\}\:\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\right\}\:\leqslant\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{x}} }−\mathrm{1}\:\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\forall\mathrm{x}>\mathrm{1}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\:\leqslant\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\xi_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\leqslant\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\:\leqslant\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{x}\right)−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\leqslant\:\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} }\:\leqslant\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{x}\right)\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{1} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 12/Jun/20
$$\mathrm{the}\:\mathrm{important}\:\mathrm{result}\:\mathrm{here}\:\mathrm{is}\:\mathrm{that}\:\mathrm{if}\:\mathrm{f}\:\mathrm{decrease}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{k}} ^{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:\leqslant\mathrm{f}\left(\mathrm{k}\right)\leqslant\int_{\mathrm{k}−\mathrm{1}} ^{\mathrm{k}} \:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:\:\:\:\:\mathrm{here}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{x}} }\:\:\:\left(\mathrm{t}>\mathrm{1}\right) \\ $$