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Question Number 9827 by tawakalitu last updated on 06/Jan/17

(7 − 4(√3))^(x^2 − 4x + 3) + (7 + 4(√3))^(x^2 − 4x + 3) = 14

$$\left(\mathrm{7}\:−\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4x}\:+\:\mathrm{3}} \:+\:\left(\mathrm{7}\:+\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4x}\:+\:\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{14} \\ $$

Answered by ridwan balatif last updated on 06/Jan/17

7−4(√3)=(7−4(√3))(((7+4(√3)))/((7+4(√3)))) 7−4(√3)=((49−48)/(7+4(√3))) 7−4(√3)=(1/(7+4(√3))) let:(7−4(√3))^(x^2 −4x+3) =a a+(1/a)=14 a^2 +1=14a a^2 −14a+1=0 D=B^2 −4AC =(−14)^2 −4×1×1 =192 a_(1,2) =((−b±(√D))/(2a)) =((14±8(√3))/2) =7±4(√3) a_1 =7+4(√3) and a_2 =7−4(√3) first(a_1 =7−4(√3)) (7−4(√3))^(x^2 −4x+3) =(7−4(√3))^1 x^2 −4x+3=1 x^2 −4x+2=0 D=b^2 −4ac =16−4×1×2 =8 x_(1,2) =((4±2(√2))/2) =2±(√2) x_1 =2+(√2) and x_2 =2−(√2) continued

$$\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}=\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\frac{\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\left(\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)} \\ $$$$\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{49}−\mathrm{48}}{\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{let}}:\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}} =\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}=\mathrm{14} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{14a} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{14a}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{D}=\mathrm{B}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4AC} \\ $$$$\:\:\:\:=\left(−\mathrm{14}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}×\mathrm{1}×\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{192} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{b}\pm\sqrt{\mathrm{D}}}{\mathrm{2a}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{14}\pm\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{7}\pm\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{first}\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}} =\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{D}=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{16}−\mathrm{4}×\mathrm{1}×\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{4}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\pm\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{continued} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by sandy_suhendra last updated on 06/Jan/17

(7−4(√3))^(x^2 −4x+3) = 7+4(√3) (7−4(√3))^(x^2 −4x+3) = (7−4(√3))^(−1) x^2 −4x+3=−1 x^2 −4x+4=0 (x−2)^2 =0 x=2

$$\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{7}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}} \:=\:\left(\mathrm{7}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{3}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4x}+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{2} \\ $$

Commented by tawakalitu last updated on 06/Jan/17

wow, i really appreciate. God bless you.

$$\mathrm{wow},\:\mathrm{i}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}. \\ $$

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