Question Number 98537 by student work last updated on 14/Jun/20
Commented by student work last updated on 14/Jun/20
$$\mathrm{helpe}\:\mathrm{me} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jun/20
![at form of serie I =∫ ((lnx)/(1+x))dx let f(x) =∫_0 ^x ((ln(t))/(1+t)) dt (x>0) case 1 o<x<1 ⇒f(x) =∫_0 ^x ln(t)Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n t^n dt =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n ∫_0 ^x t^n ln(t) dt =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n A_n by parts A_n =[(t^(n+1) /(n+1))ln(t)]_0 ^x −∫_0 ^x (t^n /(n+1)) dt =(x^(n+1) /(n+1))lnx−(x^(n+1) /((n+1)^2 )) ⇒ I =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/(n+1)) x^(n+1) ln(x)−Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/((n+1)^2 )) x^(n+1) case 2 x>1 ⇒(1/x)<1 we do the changement t=(1/u) ⇒ f(x) =∫_0 ^1 ((ln(t))/(1+t))dt +∫_1 ^x ((ln(t))/(1+t)) dt(→t=(1/u)) =∫_0 ^1 ((ln(t))/(1+t))dt −∫_(1/x) ^1 ((−lnu)/(1+(1/u)))×((−du)/u^2 ) =∫_0 ^1 ((ln(t))/(1+t))dt −∫_(1/x) ^1 ((lnu)/(1+u^2 ))du =∫_0 ^1 ln(t)Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n t^n dt −∫_(1/x) ^1 lnt(Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n t^(2n) )dt =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n ∫_0 ^1 t^n lnt dt −Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n ∫_(1/x) ^1 t^(2n) lnt dt ∫_0 ^1 t^n ln(t)dt =[(t^(n+1) /(n+1))lnt]_0 ^1 −∫_0 ^1 (t^n /(n+1)) dt =−(1/((n+1)^2 )) ⇒ ∫_0 ^1 ((lnt)/(1+t))dt =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^(n+1) )/((n+1)^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ (((−1)^n )/n^2 ) =(2^(1−2) −1)ξ(2) =−(π^2 /(12)) ∫_(1/x) ^1 t^(2n) ln(t)dt =[(t^(2n+1) /(2n+1)) ln(t)]_(1/x) ^1 −∫_(1/x) ^1 (t^(2n) /(2n+1))dt =((ln(x))/((2n+1)x^(2n+1) )) −(1/((2n+1)^2 ))(1−(1/x^(2n+1) )) ⇒ ∫_(1/x) ^1 ((lnu)/(1+u^2 ))du =Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n ln(x))/((2n+1)x^(2n+1) )) −Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/((2n+1)^2 ))(→k catalan constant) +Σ_(n=0) ^∞ (((−1)^n )/((2n+1)^2 x^(2n+1) ))](Q98555.png)
$$\mathrm{at}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{serie}\:\:\mathrm{I}\:=\int\:\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\:\:\:\left(\mathrm{x}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{o}<\mathrm{x}<\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\:\mathrm{dt}\:\:\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{lnx}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}\:\:\mathrm{x}>\mathrm{1}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}<\mathrm{1}\:\:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\left(\rightarrow\mathrm{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\:−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{−\mathrm{lnu}}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}}}×\frac{−\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnu}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \mathrm{dt}\:−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{lnt}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{lnt}\:\mathrm{dt}\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \:\mathrm{lnt}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{lnt}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:−\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2n}} }{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{lnu}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }\:−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\rightarrow\mathrm{k}\:\mathrm{catalan}\:\mathrm{constant}\right) \\ $$$$+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} } \\ $$$$ \\ $$