Question Number 9865 by richard last updated on 10/Jan/17
![lim_(n→∞) [((1^m + 2^m + 3^m + ...+ n^m )/n^(m+1) )] =](Q9865.png)
$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left[\frac{\mathrm{1}^{{m}} +\:\mathrm{2}^{{m}} +\:\mathrm{3}^{{m}} +\:...+\:{n}^{{m}} }{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }\right]\:= \\ $$
Commented by sou1618 last updated on 12/Jan/17
![(i)Σ_(k=1) ^n k^m x:(0≤k−1≤x≤k)⇔(0≤x≤k≤x+1) x^m ≤k^m ≤(x+1)^m ⇒∫_(k−1) ^k x^m dx<∫_(k−1) ^k k^m dx<∫_(k−1) ^k (x+1)^m dx ⇒∫_(k−1) ^k x^m dx<k^m <∫_(k−1) ^k (x+1)^m dx ⇒Σ_(k=1) ^n ∫_(k−1) ^k x^m dx<Σ_(k=1) ^n k^m <Σ_(k=1) ^n ∫_(k−1) ^k (x+1)^m dx ⇒∫_0 ^n x^m dx<Σ_(k=1) ^n k^m <∫_0 ^n (x+1)^m dx ⇒[(1/(m+1))x^(m+1) ]_0 ^n <Σ_(k=1) ^n k^m <[(1/(m+1))(x+1)^(m+1) ]_0 ^n ⇒(1/(m+1))n^(m+1) <Σ_(k=1) ^n k^m <(1/(m+1)){(n+1)^(m+1) −1} (ii) lim_(n→∞) (n^(m+1) /(n^(m+1) (m+1)))<lim((Σ_(k=1) ^n k^m )/n^(m+1) )<lim(((n+1)^(m+1) −1)/(n^(m+1) (m+1))) ⇒(1/(m+1))(<)lim((Σ_(k=1) ^n k^m )/n^(m+1) )<lim{(((n+1)^(m+1) )/n^(m+1) )−(1/n^(m+1) )}×(1/(m+1)) ⇒(1/(m+1))(<)lim((Σ_(k=1) ^n k^m )/n^(m+1) )<lim{(((n+1)/n))^(m+1) −0}×(1/(m+1)) ⇒(1/(m+1))(<)lim((Σ_(k=1) ^n k^m )/n^(m+1) )(<)(1/(m+1)) ∴lim_(n→∞) {(1/n^(m+1) ) Σ_(k=1) ^n k^m }=(1/(m+1))](Q9879.png)
$$\left({i}\right)\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{{m}} \\ $$$$\:{x}:\left(\mathrm{0}\leqslant{k}−\mathrm{1}\leqslant{x}\leqslant{k}\right)\Leftrightarrow\left(\mathrm{0}\leqslant{x}\leqslant{k}\leqslant{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$ \\ $$$${x}^{{m}} \leqslant{k}^{{m}} \leqslant\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{m}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} {x}^{{m}} {dx}<\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} {k}^{{m}} {dx}<\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{{m}} {dx} \\ $$$$\Rightarrow\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} {x}^{{m}} {dx}<{k}^{{m}} <\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{{m}} {dx} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} {x}^{{m}} {dx}<\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{{m}} <\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\int_{{k}−\mathrm{1}} ^{{k}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{{m}} {dx} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} {x}^{{m}} {dx}<\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{{m}} <\int_{\mathrm{0}} ^{{n}} \left({x}+\mathrm{1}\right)^{{m}} {dx} \\ $$$$\Rightarrow\left[\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}{x}^{{m}+\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{0}} ^{{n}} <\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{{m}} <\left[\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{m}+\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{0}} ^{{n}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}{n}^{{m}+\mathrm{1}} <\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{{m}} <\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}\left\{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right\} \\ $$$$ \\ $$$$\left({ii}\right) \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {{lim}}\frac{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }{{n}^{{m}+\mathrm{1}} \left({m}+\mathrm{1}\right)}<{lim}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{{m}} }{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }<{lim}\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{{n}^{{m}+\mathrm{1}} \left({m}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}\left(<\right){lim}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{{m}} }{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }<{lim}\left\{\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{{m}+\mathrm{1}} }{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }\right\}×\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}\left(<\right){lim}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{{m}} }{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }<{lim}\left\{\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{{n}}\right)^{{m}+\mathrm{1}} −\mathrm{0}\right\}×\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}}\left(<\right){lim}\frac{\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{{m}} }{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }\left(<\right)\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$\therefore\underset{{n}\rightarrow\infty} {{lim}}\:\left\{\frac{\mathrm{1}}{{n}^{{m}+\mathrm{1}} }\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}^{{m}} \right\}=\frac{\mathrm{1}}{{m}+\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$