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Question Number 99118 by pticantor last updated on 18/Jun/20

Answered by mathmax by abdo last updated on 18/Jun/20

1) let p(x) =Σ_(k=1) ^n x^k ⇒p^′ (x) =Σ_(k=1) ^n kx^(k−1) ⇒Σ_(k=1) ^n k x^(k−1) = =(d/dx)( ((x^n −1)/(x−1))−1) =((nx^(n+1) −(n+1)x^n +1)/((x−1)^2 )) ⇒ Σ_(k=1) ^n k 2^(k−1) =n 2^(n+1) −(n+1)2^n +1 =(2n−n−1)2^n +1 =(n−1)2^n +1

$$\left.\mathrm{1}\right)\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow\mathrm{p}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}\:\mathrm{x}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} = \\ $$$$=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{1}\right)\:=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}\:\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:=\mathrm{n}\:\mathrm{2}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}\:\:=\left(\mathrm{2n}−\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}\:=\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 18/Jun/20

b) Σ_(k=1) ^n k(n−k) =n Σ_(k=1) ^n k−Σ_(k=1) ^n k^2 =n((n(n+1))/2)−((n(n+1)(2n+1))/6) =((n(n+1))/2){n−((2n+1)/3)} =((n(n+1))/2)(((n−1)/3)) =((n(n+1)(n−1))/6)

$$\left.\mathrm{b}\right)\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}\left(\mathrm{n}−\mathrm{k}\right)\:=\mathrm{n}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{n}\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\:=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{n}−\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\:=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Jun/20

2) Σ_(n=1) ^∞ (1/(n(n+1))) =lim_(n→+∞) Σ_(k=1) ^n ((1/k)−(1/(k+1))) =lim_(n→+∞) (1−(1/(n+1))) =1

$$\left.\mathrm{2}\right)\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)\:=\mathrm{1} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 19/Jun/20

2^(b)) let S_n =Σ_(k=1) ^n (1/(k(k+1)(k+2))) let decompose F(x) =(1/(x(x+1)(x+2))) F(x) =(a/x) +(b/(x+1)) +(c/(x+2)) a =(1/(2 )) ,b =−1 , c =(1/2) ⇒F(x) =(1/(2x))−(1/(x+1)) +(1/(2(x+2))) ⇒ S_n =Σ_(k=1) ^n (1/(2k))−Σ_(k=1) ^n (1/(k+1)) +Σ_(k=1) ^n (1/(2(k+2))) we have Σ_(k=1) ^n (1/k) =H_n , Σ_(k=1) ^n (1/(k+1)) =Σ_(k=2) ^(n+1) (1/k) =H_(n+1) −1 Σ_(k=1) ^n (1/(k+2)) =Σ_(k=3) ^(n+2) (1/k) =H_(n+2) −(3/2) ⇒S_n =(1/2)H_n −H_(n+1) +1+(1/2)H_(n+2) −(3/4) =(1/2)(H_n +H_(n+2) )−H_(n+1) +(1/4) =(1/2)(ln(n)+γ +ln(n+2)+γ +o((1/n)) −ln(n+1)−γ−o((1/(n+1))) +(1/4) =ln((√(n^2 +2n)))−ln(n+1)+(1/4) +o((1/n)) =ln(((√(n^2 +2n))/(n+1)))+(1/4) +o((1/n)) →(1/4) ⇒lim_(n→+∞) S_n =(1/4)

$$\mathrm{2}^{\left.\mathrm{b}\right)} \:\mathrm{let}\:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\:\:}\:\:,\mathrm{b}\:=−\mathrm{1}\:\:,\:\mathrm{c}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}}−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:+\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\:=\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \:\:\:,\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\:=\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{2}}\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\:=\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}} \:−\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{n}} +\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \right)−\mathrm{H}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)+\gamma\:+\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)+\gamma\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\right. \\ $$$$−\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)−\gamma−\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2n}}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right) \\ $$$$=\mathrm{ln}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2n}}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+\mathrm{o}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\:\rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$

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