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Question Number 99242 by abdomathmax last updated on 19/Jun/20
$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{ax}} \:\mathrm{ch}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}>\mathrm{0} \\ $$
Commented byPRITHWISH SEN 2 last updated on 20/Jun/20
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\left(\mathrm{s}+\mathrm{a}\right)\mathrm{x}} \mathrm{ch}\left(\mathrm{3x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{s}+\mathrm{a}}{\left(\mathrm{s}+\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Jun/20
![L(e^(−ax) ch(3x)) =∫_0 ^∞ e^(−at) ch(3t)e^(−xt) dt =(1/2)∫_0 ^∞ e^(−at) (e^(3t) +e^(−3t) )e^(−xt) dt =(1/2)∫_0 ^∞ (e^((−a+3−x)t) +e^((−a−3−x)t) )dt =(1/2)[(1/(3−a−x)) e^((3−a−x)t) +(1/(−3−a−x))e^((−3−a−x)t) ]_0 ^(+∞) =(1/2)(−(1/(3−a−x)) +(1/(3+a+x))) =(1/2)((1/(a+x+3)) +(1/(a+x−3))) =(1/2){((a+x−3+a+x+3)/((a+x)^2 −9))} =((a+x)/((a+x)^2 −9)) ⇒ L(e^(−ax) ch(3x)) =((x+a)/((x+a)^2 −9))](Q99311.png)
$$\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{ax}} \:\mathrm{ch}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \:\mathrm{ch}\left(\mathrm{3t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{3t}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{3t}} \right)\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{a}+\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \:+\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{a}−\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \right)\mathrm{dt} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}−\mathrm{a}−\mathrm{x}}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{3}−\mathrm{a}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \:+\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{3}−\mathrm{a}−\mathrm{x}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{3}−\mathrm{a}−\mathrm{x}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}−\mathrm{a}−\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\mathrm{a}+\mathrm{x}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{x}−\mathrm{3}}\right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{x}−\mathrm{3}+\mathrm{a}+\mathrm{x}+\mathrm{3}}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}}\right\}\:=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{x}}{\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}}\:\Rightarrow \\ $$ $$\mathrm{L}\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{ax}} \:\mathrm{ch}\left(\mathrm{3x}\right)\right)\:=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{a}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}} \\ $$