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Question Number 99326 by 175 last updated on 20/Jun/20

Answered by abdomathmax last updated on 20/Jun/20

$$\mathrm{at}\mathrm{form}\mathrm{of}\mathrm{serie}$$$$\mathrm{I}=\int \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}-4}}{1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}-4}}\mathrm{dx}=\int \frac{{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-4}}{1-{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-4}}\mathrm{dx}$$$$=\int {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-4}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{nx}}^2-4\mathrm{nx}-4\mathrm{n}}\mathrm{dx}$$$$=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{nx}}^2-4\mathrm{nx}-4\mathrm{n}}\int {\mathrm{e}}^{-{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}-4}\mathrm{dx}$$$$=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{nx}}^2-4\mathrm{nx}-4\mathrm{n}}\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}}{({\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+4)}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}!}$$$$=\mathrm{\Sigma }{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}.\mathrm{\Sigma }{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}}=\mathrm{\Sigma }{\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}\mathrm{with}$$$${\mathrm{c}}_{\mathrm{n}}=\sum _{\mathrm{i}+\mathrm{j}=\mathrm{n}}{\mathrm{a}}_{\mathrm{i}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{j}}=\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{ix}}^2-4\mathrm{ix}-4\mathrm{i}}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}-\mathrm{i}}{({\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+4)}^{\mathrm{n}-\mathrm{i}}}{(\mathrm{n}-\mathrm{i})!}$$$$\Rightarrow$$$$\mathrm{I}=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\sum _{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}}\frac{{(-1)}^{\mathrm{n}-\mathrm{i}}}{(\mathrm{n}-\mathrm{i})!}{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{ix}}^2-4\mathrm{ix}-4\mathrm{i}}{({\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+4)}^{\mathrm{n}-\mathrm{i}}\right)$$

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