Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Differentiation Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Differentiation      Next in Differentiation      

Question Number 99357 by bobhans last updated on 20/Jun/20

x^2 +xy +y^2 −3y = 10 , find the value of (dy/dx) at x= 2

$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{xy}\:+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}\:=\:\mathrm{10}\:,\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:\mathrm{at}\:\mathrm{x}=\:\mathrm{2}\: \\ $$

Commented by bemath last updated on 20/Jun/20

x=2 ⇒4+2y+y^2 −3y−10=0 y^2 −y−6=0 ⇒ { ((y=3)),((y=−2)) :} implicit differentiate 2x +y+x(dy/dx)+2y(dy/dx)−3(dy/dx) = 0 2x+y+(x−3+2y) (dy/dx) = 0 for (2,3) ⇒4+3+(2−3+6) (dy/dx) = 0 (dy/dx) = −(7/5) for (2,−2)⇒4−2+(2−3−4) (dy/dx) = 0 (dy/dx) = ((−2)/((−5))) = (2/5)

$$\mathrm{x}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{4}+\mathrm{2y}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}−\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}−\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{y}=\mathrm{3}}\\{\mathrm{y}=−\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{implicit}\:\mathrm{differentiate}\: \\ $$$$\mathrm{2x}\:+\mathrm{y}+\mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}+\mathrm{2y}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}−\mathrm{3}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2x}+\mathrm{y}+\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}+\mathrm{2y}\right)\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{for}\:\left(\mathrm{2},\mathrm{3}\right)\:\Rightarrow\mathrm{4}+\mathrm{3}+\left(\mathrm{2}−\mathrm{3}+\mathrm{6}\right)\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{for}\:\left(\mathrm{2},−\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{4}−\mathrm{2}+\left(\mathrm{2}−\mathrm{3}−\mathrm{4}\right)\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\:=\:\frac{−\mathrm{2}}{\left(−\mathrm{5}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Jun/20

x^2 +y^2 +xy−3y =10 ⇒y^2 +(x−3)y +x^2 −10 =0 Δ =(x−3)^2 −4(x^2 −10) =x^2 −6x +9−4x^2 +40 =−3x^2 −6x +49 for Δ≥0 we get y_1 =((3−x+(√(−3x^2 −6x +49)))/2) and y_2 =((3−x−(√(−3x^2 −6x +49)))/2) y=y_1 ⇒y^′ =−(1/2) +(1/2)×((−6x−6)/(2(√(−3x^2 −6x+49)))) =−(1/2)−((3x+3)/(2(√(−3x^2 −6x+49)))) y^′ (2) =−(1/2)−(9/(2(√(−12−12+49)))) =−(1/2)−(9/(10)) =((−5−9)/(10)) =((−14)/(10)) =−(7/5) y =y_2 ⇒y^′ =−(1/2)−(1/2)×((−6x−6)/(2(√(−3x^2 −6x+49)))) =−(1/2) +(1/2)((3x+3)/(√(−3x^2 −6x+49))) ⇒ y^′ (2) =−(1/2) +(9/(2×5)) =−(1/2) +(9/(10)) =((−5+9)/(10)) =(4/(10)) =(2/5)

$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{xy}−\mathrm{3y}\:=\mathrm{10}\:\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{y}\:+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}\right)\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}\:+\mathrm{9}−\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{40}\:=−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}\:+\mathrm{49} \\ $$$$\mathrm{for}\:\Delta\geqslant\mathrm{0}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\:\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{3}−\mathrm{x}+\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}\:+\mathrm{49}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{3}−\mathrm{x}−\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}\:+\mathrm{49}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{−\mathrm{6x}−\mathrm{6}}{\mathrm{2}\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{49}}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{49}}} \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}\sqrt{−\mathrm{12}−\mathrm{12}+\mathrm{49}}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\:=\frac{−\mathrm{5}−\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\:=\frac{−\mathrm{14}}{\mathrm{10}}\:=−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{y}^{'} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{−\mathrm{6x}−\mathrm{6}}{\mathrm{2}\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{49}}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{3}}{\sqrt{−\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{49}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}×\mathrm{5}}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\:=\frac{−\mathrm{5}+\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\:=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{10}}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com