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Question Number 99464 by mathmax by abdo last updated on 21/Jun/20

solve y^(′′) −2y^′ +y =xe^(−x) sin(2x) withy(o) =−1 and y^′ (0) =0

$$\mathrm{solve}\:\mathrm{y}^{''} \:−\mathrm{2y}^{'} \:+\mathrm{y}\:\:=\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\:\mathrm{withy}\left(\mathrm{o}\right)\:=−\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{0} \\ $$

Answered by MWSuSon last updated on 21/Jun/20

i do not know how to use D−operator method to find the particular integral. but if i make... y_p =Ae^(−x) xsin(2x)+Be^(−x) sin(2x)+C e^(−x) xcos(2x)+De^(−x) cos(2x) and equate coefficients of y′_p ,y′′_(p ) and y_p . This will take more time. I am just dropping this comment so that i can have notification when someone solves it using D−operator method.

$$\mathrm{i}\:\mathrm{do}\:\mathrm{not}\:\mathrm{know}\:\mathrm{how}\:\mathrm{to}\:\mathrm{use}\:\mathrm{D}−\mathrm{operator} \\ $$$$\mathrm{method}\:\mathrm{to}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{integral}. \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{if}\:\mathrm{i}\:\mathrm{make}... \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{Ae}^{−\mathrm{x}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{Be}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \mathrm{xcos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{De}^{−\mathrm{x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{equate}\:\mathrm{coefficients}\:\mathrm{of}\:\mathrm{y}'_{\mathrm{p}} ,\mathrm{y}''_{\mathrm{p}\:} \mathrm{and}\:\mathrm{y}_{\mathrm{p}} . \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{will}\:\mathrm{take}\:\mathrm{more}\:\mathrm{time}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{am}\:\mathrm{just}\: \\ $$$$\mathrm{dropping}\:\mathrm{this}\:\mathrm{comment}\:\mathrm{so}\:\mathrm{that}\:\mathrm{i}\:\mathrm{can}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{notification}\:\mathrm{when}\:\mathrm{someone}\:\mathrm{solves}\:\mathrm{it}\:\mathrm{using} \\ $$$$\mathrm{D}−\mathrm{operator}\:\mathrm{method}. \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Jun/20

let solve by laplace e ⇒L(y^(′′) )−2L(y^′ )+L(y) = L(xe^(−x) sin(2x)) ⇒ x^2 L(y)−xy(0)−y^′ (0)−2(xL(y)−y(o))+L(y) =L(xe^(−x) sin(2x)) ⇒ (x^2 −2x +1)L(y) +x−2 =L(xe^(−x) sin(2x)) we have L(xe^(−x) sin(2x)) =∫_0 ^∞ t e^(−t) sin(2t)e^(−xt) dt =Im(∫_0 ^∞ t e^(−t+2it−xt) dt) =Im(∫_0 ^∞ t e^((−x−1+2i)t) dt) and ∫_0 ^∞ t e^((−x−1+2i)t) dt =_(byparts) [(t/(−x−1+2i))e^((−x−1+2i)t) ]_0 ^∞ −∫_0 ^∞ (1/(−x−1+2i))e^((−x−1+2i)t) dt =(1/(x+1−2i))∫_0 ^∞ e^((−x−1+2i)t) dt =(1/((x+1−2i)))[(1/(−x−1+2i))e^((−x−1+2i)t) ]_0 ^∞ =(1/((x+1−2i)^2 )) =(((x+1+2i)^2 )/({(x+1)^2 +4}^2 )) =(((x+1)^2 +4i(x+1)−4)/({(x+1)^2 +4}^2 )) ⇒ Im(....) =((4(x+1))/({(x+1)^2 +4}^2 )) e⇒(x^2 −2x+1)L(y) =−x+2 +((4x+4)/({(x+1)^2 +4}^2 )) ⇒ L(y) =((−x+2)/(x^2 −2x+1)) +((4x+4)/((x^2 −2x+1){(x+1)^2 +4}^2 )) ⇒ L(y) =((−x+2)/((x−1)^2 )) +((4x+4)/((x−1)^2 {(x+1)^2 +4}^2 )) ⇒ y(x) =L^(−1) (((−x+2)/((x−1)^2 ))) +4 L^(−1) (((x+1)/((x−1)^2 {(x+1)^2 +4}))) ...be continued....

$$\mathrm{let}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{by}\:\mathrm{laplace}\:\:\mathrm{e}\:\Rightarrow\mathrm{L}\left(\mathrm{y}^{''} \right)−\mathrm{2L}\left(\mathrm{y}^{'} \right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\:\mathrm{L}\left(\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{xy}\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{2}\left(\mathrm{xL}\left(\mathrm{y}\right)−\mathrm{y}\left(\mathrm{o}\right)\right)+\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}\:+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:+\mathrm{x}−\mathrm{2}\:\:=\mathrm{L}\left(\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{L}\left(\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{Im}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}+\mathrm{2it}−\mathrm{xt}} \:\mathrm{dt}\right)\:=\mathrm{Im}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{t}\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{byparts}} \:\:\:\left[\frac{\mathrm{t}}{−\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2i}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)}\left[\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} }{\left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right\}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4i}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{4}}{\left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right\}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{Im}\left(....\right)\:=\frac{\mathrm{4}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)}{\left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right\}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=−\mathrm{x}+\mathrm{2}\:+\frac{\mathrm{4x}+\mathrm{4}}{\left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\right\}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{−\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{4x}+\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right\}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{y}\right)\:=\frac{−\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{4x}+\mathrm{4}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right\}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{−\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\:+\mathrm{4}\:\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right\}}\right) \\ $$$$...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}.... \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 22/Jun/20

y(x) =L^(−1) (((−x+2)/((x−1)^2 ))) +4 L^(−1) (((x+1)/((x−1)^2 {(x+1)^2 +4}^2 )))

$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{−\mathrm{x}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\:+\mathrm{4}\:\mathrm{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left\{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4}\right\}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$

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