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Question Number 99465 by mathmax by abdo last updated on 21/Jun/20

calculate I =∫ cos^2 x sh(2x)dx and J =∫ sin^2 x ch(2x)dx

$$\mathrm{calculate}\:\mathrm{I}\:=\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{and}\:\mathrm{J}\:=\int\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Jun/20

I =∫ cos^2 x sh(2x)dx ⇒I =(1/2)∫ (1+cos(2x))sh(2x)dx =(1/2)∫ sh(2x)dx +(1/2)∫ cos(2x)sh(2x)dx ∫ sh(2x)dx =(1/2)ch(2x)+c_1 ∫ cos(2x)sh(2x)dx =Re(∫ e^(2ix) ×((e^(2ix) −e^(−2ix) )/2) dx) ∫ ((e^(4ix) −1)/2) dx =−(x/2) +(1/(8i)) e^(4ix) =−(x/2)−(i/8)(cos(4x)+isin(4x) ⇒ Re(....) =−(x/2)+(1/8)sin(4x) ⇒ I =(1/2)ch(2x)−(x/4) +(1/(16))sin(4x)

$$\mathrm{I}\:=\int\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\int\:\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{Re}\left(\int\:\:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} ×\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{4ix}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8i}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{4ix}} \:=−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{8}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{4x}\right)\:\Rightarrow\right. \\ $$$$\mathrm{Re}\left(....\right)\:=−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right) \\ $$

Answered by abdomathmax last updated on 22/Jun/20

J =∫ sin^2 x ch(2x)dx ⇒J =(1/2)∫(1−cos(2x))ch(2x)dx =(1/2)∫ ch(2x)dx−(1/2) ∫ cos(2x)ch(2x)dx we have ∫ ch(2x)dx =(1/2)sh(2x) +c_1 ∫ cos(2x)ch(2x)dx =(1/2)Re(∫ e^(2ix) (e^(2ix) +e^(−2ix) )dx) and ∫ (e^(4ix) +1)dx =x+(1/(4i)) e^(4ix) =x−(i/4)(cos(4x)+isin(4x)) ⇒(1/2)Re(...) =(x/2) +(1/8)sin(4x) ⇒ J =(1/4)sh(2x)−(x/5)−(1/(16))sin(4x) +c

$$\mathrm{J}\:=\int\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{J}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int\:\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\mathrm{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\int\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{ch}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Re}\left(\int\:\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{2ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{2ix}} \right)\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{and}\:\int\:\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{4ix}} \:+\mathrm{1}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}}\:\mathrm{e}^{\mathrm{4ix}} \\ $$$$=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{4x}\right)\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Re}\left(...\right)\:\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{J}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:+\mathrm{c} \\ $$$$ \\ $$

Commented by abdomathmax last updated on 22/Jun/20

J =(1/4)sh(2x)−(x/4)−(1/(16))sin(4x) +c

$$\mathrm{J}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sh}\left(\mathrm{2x}\right)−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{4x}\right)\:+\mathrm{c} \\ $$

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