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Question Number 9947 by ridwan balatif last updated on 18/Jan/17

Commented by sandy_suhendra last updated on 18/Jan/17

x=3+(1/(3+(1/x))) ⇒ x=3+(1/x) ⇒ x^2 =3x+1⇒x^2 −3x−1=0 y=3 + (1/(3+(1/(3+(1/y))))) ⇒ y=3+(1/y) ⇒y^2 =3y+1⇒y^2 −3y−1=0 x^2 −3x−1=0 have the same roots with y^2 −3y−1=0 so ∣x−y∣=0

$$\mathrm{x}=\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:\:\Rightarrow\:\mathrm{x}=\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3x}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{3}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}}}}\:\Rightarrow\:\mathrm{y}=\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}}\:\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3y}+\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\mathrm{have}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{roots}\:\mathrm{with}\:\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3y}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mid\mathrm{x}−\mathrm{y}\mid=\mathrm{0} \\ $$

Commented by ridwan balatif last updated on 19/Jan/17

thank you sir

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$

Answered by mrW1 last updated on 18/Jan/17

x=3+(1/(3+(1/x))) x−3=(1/(3+(1/x)))=(x/(3x+1)) (x−3)(3x+1)=x 3x^2 −9x+x−3−x=0 3x^2 −9x−3=0 x^2 −3x−1=0 x=((3±(√(9+4)))/2)=((3±(√(13)))/2) y=3+(1/(3+(1/(3+(1/y))))) y−3=(1/(3+(1/(3+(1/y))))) (1/(y−3))=3+(1/(3+(1/y))) (1/(y−3))−3=(1/(3+(1/y))) ((1−3(y−3))/(y−3))=(y/(3y+1)) ((10−3y)/(y−3))=(y/(3y+1)) (10−3y)(3y+1)=y(y−3) 30y−9y^2 +10−3y−y^2 +3y=0 −10y^2 +30y+10=0 y^2 −3y−1=0 y=((3±(√(9+4)))/2)=((3±(√(13)))/2) ∣x−y∣=0 or (√(13)) ⇒Answer (A)

$${x}=\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}} \\ $$$${x}−\mathrm{3}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}=\frac{{x}}{\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3}{x}+\mathrm{1}\right)={x} \\ $$$$\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}{x}+{x}−\mathrm{3}−{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}{x}−\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\frac{\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{9}+\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$${y}=\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}}} \\ $$$${y}−\mathrm{3}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{y}−\mathrm{3}}=\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{y}−\mathrm{3}}−\mathrm{3}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}−\mathrm{3}\left({y}−\mathrm{3}\right)}{{y}−\mathrm{3}}=\frac{{y}}{\mathrm{3}{y}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\mathrm{10}−\mathrm{3}{y}}{{y}−\mathrm{3}}=\frac{{y}}{\mathrm{3}{y}+\mathrm{1}} \\ $$$$\left(\mathrm{10}−\mathrm{3}{y}\right)\left(\mathrm{3}{y}+\mathrm{1}\right)={y}\left({y}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{30}{y}−\mathrm{9}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{10}−\mathrm{3}{y}−{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{y}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{10}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{30}{y}+\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$${y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{y}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${y}=\frac{\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{9}+\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{13}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\mid{x}−{y}\mid=\mathrm{0}\:{or}\:\sqrt{\mathrm{13}} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow{Answer}\:\left({A}\right) \\ $$

Commented by ridwan balatif last updated on 18/Jan/17

thank you sir

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$

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