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Question Number 99938 by bemath last updated on 24/Jun/20

lim_(x→1^+ ) (((√(x^2 −1))+(√x)−1)/(√(x−1))) ?

$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:?\: \\ $$

Commented by bobhans last updated on 24/Jun/20

lim_(x→1^+ ) ((x/(√(x^2 −1)))/(1/(2(√(x−1)))))+ ((1/(2(√x)))/(1/(2(√(x−1))))) = lim_(x→1^+ ) ((2x)/(√(x+1))) + ((√(x−1))/(√x)) = (2/(√2)) + 0 = (√2)

$$\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}}+\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}}\:=\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2x}}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{1}}}\:+\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\sqrt{\mathrm{x}}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\:\mathrm{0}\:=\:\sqrt{\mathrm{2}}\: \\ $$$$ \\ $$

Commented by john santu last updated on 24/Jun/20

lim_(x→1^+ ) (((√(2(x−1)))+(√x)−1)/(√(x−1))) = (√2) +lim_(x→1^+ ) (((√x)−1)/(√(x−1))) = (√2)+lim_(x→1^+ ) ((1/(2(√x)))/(1/(2(√(x−1))))) = (√2) + lim_(x→1^+ ) ((√(x−1))/(√x)) = (√2) + 0 = (√2) ■

$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}+\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:= \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}}\:+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:=\:\sqrt{\mathrm{2}}+\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}} \\ $$$$=\:\sqrt{\mathrm{2}}\:+\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}{\sqrt{\mathrm{x}}}\:=\:\sqrt{\mathrm{2}}\:+\:\mathrm{0}\:=\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\blacksquare \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 24/Jun/20

f(x) =(((√(x^2 −1))+(√x)−1)/(√(x−1))) we do thechangement (√(x−1))=t ⇒x−1 =t^2 ⇒ f(x) =(((√((t^2 +1)^2 −1))+(√(1+t^2 ))−1)/t) =(((√(t^4 +2t^2 ))+(√(1+t^2 ))−1)/t)=g(t) x→1^+ ⇒t→0^+ ⇒ g(t) =((t(√2)(√(1+(t^2 /2)))+(√(1+t^2 ))−1)/t) ⇒g(t) ∼((t(√2){1+(t^2 /4)}+1+(t^2 /2)−1)/t) =(√2)(1+(t^2 /4))+(t/2) ⇒(√2) ⇒ lim_(x→1^+ ) g(x) =(√2)

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{x}}−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{thechangement}\:\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=\mathrm{t}\:\Rightarrow\mathrm{x}−\mathrm{1}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\sqrt{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} }+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}}{\mathrm{t}}=\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right) \\ $$$$\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} \:\Rightarrow\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}^{+} \:\Rightarrow\:\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}}{\mathrm{t}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\left(\mathrm{t}\right)\:\sim\frac{\mathrm{t}\sqrt{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\right\}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:=\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}\right)+\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\sqrt{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } \:\:\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 24/Jun/20

lim_(x→1^+ ) (((√x)−1)/(√(x−1)))+(√(x+1)) lim_(x→1^+ ) (((√x)−1)/(x−1)).((x−1)/(√(x−1)))+(√(x+1)) lim_(x→1^+ ) (1/2)(√(x−1))+(√(x+1))=0+(√2)=(√2)

$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}{\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{{x}}−\mathrm{1}}{{x}−\mathrm{1}}.\frac{{x}−\mathrm{1}}{\sqrt{{x}−\mathrm{1}}}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{1}^{+} } {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{{x}−\mathrm{1}}+\sqrt{{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{0}+\sqrt{\mathrm{2}}=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$

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