Question Number 99951 by bemath last updated on 24/Jun/20
$$\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}}\:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:? \\ $$
Commented by bobhans last updated on 24/Jun/20
$$\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{5}} }\:+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:×\left\{\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{5}} }\:−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{5}} }−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:\right\}\:= \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{4x}^{\mathrm{5}} }{\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{5}} }−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:=\:\underset{{x}\rightarrow−\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{−\mathrm{4}}{\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\:=\:−\infty \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 24/Jun/20
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}}\:+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mid\mathrm{x}\mid\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}}}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \\ $$$$=−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}}}+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:\sim−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:=−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \:\:\left(\mathrm{x}\rightarrow−\infty\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow−\infty} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=−\infty \\ $$