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Question Number 13391 by Tinkutara last updated on 19/May/17

$$\mathrm{A}\mathrm{four}\mathrm{digit}\mathrm{number}\mathrm{has}\mathrm{the}\mathrm{following}$$$$\mathrm{properties}:$$$$\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{It}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{perfect}\mathrm{square}$$$$\left(\mathrm{b}\right)\mathrm{The}\mathrm{first}\mathrm{two}\mathrm{digits}\mathrm{are}\mathrm{equal}$$$$\left(\mathrm{c}\right)\mathrm{The}\mathrm{last}\mathrm{two}\mathrm{digits}\mathrm{are}\mathrm{equal}.$$$$\mathrm{Find}\mathrm{all}\mathrm{such}\mathrm{numbers}.$$

Answered by RasheedSindhi last updated on 19/May/17

$$\mathrm{let}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{is}$$$$\mathrm{x}+10\mathrm{x}+100\mathrm{y}+1000\mathrm{y}$$$$=11\mathrm{x}+1100\mathrm{y}$$$$=11(\mathrm{x}+100\mathrm{y})$$$$\mathrm{Since}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{perfect}$$$$\mathrm{square}\mathrm{it}\mathrm{contains}\mathrm{every}\mathrm{prime}$$$$\mathrm{factor}\mathrm{twice}.\mathrm{So}$$$$11\times 11=121\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{divisor}\mathrm{of}$$$$\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{number}.$$$$\mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{is}{121\mathrm{m}}^2$$$$\mathrm{Since}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{of}\mathrm{four}$$$$\mathrm{digits}{121\mathrm{m}}^2⩽9999$$$$11\mathrm{m}<99$$$$\mathrm{Hence}\mathrm{the}\mathrm{square}\mathrm{root}\mathrm{of}\mathrm{the}$$$$\mathrm{number}\mathrm{may}\mathrm{be}$$$$11,22,33,...,99$$$$\mathrm{On}\mathrm{testing}\mathrm{each}\mathrm{of}\mathrm{these}$$$$\mathrm{numbers}\mathrm{only}88\mathrm{is}\mathrm{such}\mathrm{number}$$$$\mathrm{whose}\mathrm{square}\mathrm{fulfills}\mathrm{the}$$$$\mathrm{requirements}$$$${88}^2=7744$$

Commented by RasheedSindhi last updated on 19/May/17

$${\mathrm{It}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{complete}\mathrm{now}.$$

Commented by mrW1 last updated on 20/May/17

$$Great!$$

Commented by RasheedSindhi last updated on 20/May/17

$$\stackrel{\leftarrowtail }{!1\mathrm{Wrm}\mathrm{tol}\mathrm{a}\mathrm{sknahT}}$$

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