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Question Number 17075 by tawa tawa last updated on 30/Jun/17

$$\mathrm{Given}\mathrm{that}:\log \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}-\mathrm{z}}\right)=\log \left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{z}-\mathrm{x}}\right)=\log \left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}\right)$$$$\mathrm{Show}\mathrm{that}:{\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}\times {\mathrm{y}}^{\mathrm{y}}\times {\mathrm{z}}^{\mathrm{z}}=1$$

Commented by RasheedSoomro last updated on 30/Jun/17

$$\log \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}-\mathrm{z}}\right)=\log \left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{z}-\mathrm{x}}\right)=\log \left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}\right)$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}-\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{z}-\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{\mathrm{y}-\mathrm{z}+\mathrm{z}-\mathrm{x}+\mathrm{x}-\mathrm{y}}$$$$=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}}{0}=\mathrm{\infty }$$$$???$$$$$$

Answered by 433 last updated on 30/Jun/17

$$$$$$$$$$\frac{x}{y-z}>0\mathrm{\&}\frac{y}{z-x}>0\mathrm{\&}\frac{z}{x-y}>0$$$$x(y-z)>0\mathrm{\&}y(z-x)>0\mathrm{\&}z(x-y)>0$$$$xy-xz>0\mathrm{\&}yz-yx>0\mathrm{\&}zx-zy>0$$$$xy>xz\mathrm{\&}yz>yx\mathrm{\&}zx>zy$$$$xy>xz>zy>yx$$$$xy>yx$$

Answered by mrW1 last updated on 30/Jun/17

$$\mathrm{This}\mathrm{question}\mathrm{can}\mathrm{not}\mathrm{be}\mathrm{correct}!$$$$$$$$\mathrm{if}\log \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}-\mathrm{z}}\right)=\log \left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{z}-\mathrm{x}}\right)=\log \left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}\right)$$$$\Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}-\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{z}-\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}=\frac{1}{\mathrm{a}}{\mathrm{let}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{say}$$$$\mathrm{x}\ne 0,\mathrm{y}\ne 0,\mathrm{z}\ne 0,\mathrm{a}\ne 0$$$$\mathrm{y}-\mathrm{z}=\mathrm{ax}...\left(\mathrm{i}\right)$$$$\mathrm{z}-\mathrm{x}=\mathrm{ay}...\left(\mathrm{ii}\right)$$$$\mathrm{x}-\mathrm{y}=\mathrm{az}...\left(\mathrm{iii}\right)$$$$$$$$0=\mathrm{a}(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z})$$$$\Rightarrow \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=0$$$$\mathrm{y}+\mathrm{z}=-\mathrm{x}$$$$\mathrm{y}-\mathrm{z}=\mathrm{ax}$$$$\Rightarrow \mathrm{y}=\frac{-1+\mathrm{a}}{2}\mathrm{x}$$$$\Rightarrow \mathrm{z}=\frac{-1-\mathrm{a}}{2}\mathrm{x}$$$$\mathrm{put}\mathrm{this}\mathrm{into}\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{or}\left(\mathrm{iii}\right)$$$$\mathrm{x}-\frac{-1+\mathrm{a}}{2}\mathrm{x}=\mathrm{a}\frac{-1-\mathrm{a}}{2}\mathrm{x}$$$$(2+1-\mathrm{a})\mathrm{x}=(-1-\mathrm{a})\mathrm{ax}$$$$(3-\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2+\mathrm{a})\mathrm{x}=0$$$${\mathrm{a}}^2+3=0!$$$$\mathrm{no}\mathrm{such}\mathrm{value}\mathrm{for}\mathrm{a}\mathrm{is}\mathrm{possible}.$$$$\mathrm{that}\mathrm{means}{\mathrm{it}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{not}\mathrm{true}\mathrm{that}$$$$\log \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}-\mathrm{z}}\right)=\log \left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{z}-\mathrm{x}}\right)=\log \left(\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}\right)$$

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