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Question Number 4080 by Rasheed Soomro last updated on 27/Dec/15

$$\mathrm{Prove}\mathrm{that}\mathrm{inside}\mathrm{a}\mathrm{square},\mathrm{a}\mathrm{semi}-\mathrm{circle},$$$$\mathrm{which}\mathrm{touches}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{four}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{the}$$$$\mathrm{square},\mathrm{is}\mathrm{possible}\mathrm{with}\mathbf{ruler}\mathrm{and}\mathbf{compass}.$$

Commented by Rasheed Soomro last updated on 29/Dec/15

$$\mathrm{A}\mathrm{Semi}-\mathrm{circle}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{square}\mathrm{touching}$$$$\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{sides}.\mathrm{There}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{method}\mathrm{by}$$$$\mathrm{ruler}\mathrm{and}\mathrm{compass},\mathrm{which}\mathrm{I}\mathrm{have}$$$$\mathrm{forgotten}\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{moment}.\mathrm{However}$$$$\mathrm{you}\mathrm{can}\mathrm{get}\mathrm{idea}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{above}$$$$\mathrm{image}.$$

Answered by Rasheed Soomro last updated on 30/Dec/15

$$\mathrm{First}\mathrm{I}\mathrm{write}\mathrm{ruler}\mathrm{and}\mathrm{compass}\mathrm{method}\mathrm{of}$$$$\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{figure},\mathrm{then}{\mathrm{I}}^{\prime }\mathrm{ll}\mathrm{prove}\mathrm{the}\mathrm{method}.$$$$\mathrm{Pl}\mathrm{see}\mathrm{the}\mathrm{image}$$$$\mathrm{ABCD}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{given}\mathrm{square}.\mathrm{\angle }\mathrm{DBC}\mathrm{has}\mathrm{been}$$$$\mathrm{bisected}.\mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{bsector}\mathrm{meets}\mathrm{the}\mathrm{side}\mathrm{DC}$$$$\mathrm{at}\mathrm{E}.$$$$\mathrm{\angle }\mathrm{DBC}\mathrm{is}\mathrm{one}\mathrm{of}\mathrm{eight}\mathbf{diagonal}-\mathbf{side}\mathbf{angles}.$$$$\mathrm{You}\mathrm{can}\mathrm{select}\mathrm{any}\mathrm{angle}\mathrm{to}\mathrm{bisect}\mathrm{it}.$$$$\mathrm{From}\mathrm{E}\mathrm{a}\mathrm{line}\parallel \mathrm{BC}\mathrm{has}\mathrm{been}\mathrm{drawn}\mathrm{that}$$$$\mathrm{met}\mathrm{diagonal}\mathrm{BD}\mathrm{at}\mathrm{F}.\mathrm{F}\mathrm{is}\mathrm{center}\mathrm{of}\mathrm{required}$$$$\mathrm{semi}-\mathrm{circle}.\mathrm{Through}\mathrm{F}\mathrm{a}\mathrm{line}\mathrm{segment}\mathrm{GH}$$$$\mathrm{parallel}\mathrm{to}\mathrm{diagonal}\mathrm{AC}\mathrm{has}\mathrm{been}\mathrm{drawn}.\mathrm{GH}\mathrm{is}$$$$\mathrm{diameter}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{semi}-\mathrm{circle}.\mathrm{Taking}\mathrm{center}\mathrm{F}$$$$\mathrm{and}\mathrm{radius}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{FG}\mathrm{or}\mathrm{FH}\mathrm{or}\mathrm{FE},\mathrm{required}$$$$\mathrm{semi}-\mathrm{circle}\mathrm{has}\mathrm{been}\mathrm{drawn}.$$$$\mathrm{PROOF}▸\mathrm{Without}\mathrm{the}\mathrm{loss}\mathrm{of}\mathrm{generality},{\mathrm{let}}^{\prime }\mathrm{s}$$$$\mathrm{assume}\mathrm{that}\mathrm{side}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{square}\mathrm{is}\mathrm{unity}$$$$\therefore \mathrm{Each}\mathrm{diagonal}\mathrm{is}\sqrt{2}.$$$$\mathrm{Semi}-\mathrm{circle}\mathrm{touches}\mathrm{all}\mathrm{the}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{square}.$$$${\mathrm{We}}^{\prime }\mathrm{ll}\mathrm{prove}\mathrm{its}\mathrm{being}\mathrm{touched}\mathrm{for}\mathrm{two}\mathrm{consecutive}$$$$\mathrm{sides}\mathrm{BC}\mathrm{and}\mathrm{CD}\mathrm{in}\mathrm{this}\mathrm{proof}\mathrm{Touching}\mathrm{other}$$$$\mathrm{two}\mathrm{sides}\mathrm{is}\mathrm{easy}\mathrm{to}\mathrm{prove}.$$$$△\mathrm{BEC}\mathrm{is}\mathrm{aright}\mathrm{angled}\mathrm{triangle},\mathrm{in}\mathrm{which}$$$$\mathrm{\angle }\mathrm{BCE}=\pi /2,\mathrm{\angle }\mathrm{EBC}=\pi /8\mathrm{and}\mathrm{BC}=1$$$$\tan \mathrm{\angle }\mathrm{EBC}=\mathrm{EC}/\mathrm{BC}\Rightarrow \mathrm{EC}=\tan \left(\pi /8\right)=\sqrt{2}-1$$$$\mathrm{So},\mathrm{EC}=\sqrt{2}-1$$$$\mathrm{Now}\mathrm{DE}=\mathrm{CD}-\mathrm{EC}\Rightarrow \mathrm{DE}=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$$$$\mathrm{Or}\mathrm{DE}=2-\sqrt{2}$$$$△\mathrm{DEF}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{right}\mathrm{angled}\mathrm{triangle},\mathrm{in}\mathrm{which}$$$$\mathrm{\angle }\mathrm{FDE}=\pi /4,\mathrm{\angle }\mathrm{DFE}=\pi /4(\mathrm{\angle }\mathrm{DFE}\mathrm{is}\mathrm{complement}$$$$\mathrm{of}\mathrm{\angle }\mathrm{FDE})$$$$\because \mathrm{Two}\mathrm{angles}\mathrm{are}\mathrm{equal}$$$$\therefore \mathrm{EF}=\mathrm{DE}=2-\sqrt{2}..................................\mathrm{I}$$$$\sin \mathrm{\angle }\mathrm{FDE}=\mathrm{EF}/\mathrm{DF}\Rightarrow \sin \left(\pi /4\right)=(2-\sqrt{2})/\mathrm{DF}$$$$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{\mathrm{DF}}\Rightarrow \mathrm{DF}=2\sqrt{2}-2$$$$\mathrm{Now}\mathrm{BF}=\mathrm{BD}-\mathrm{DF}=\sqrt{2}-(2\sqrt{2}-2)=2-\sqrt{2}$$$$\mathrm{BF}=2-\sqrt{2}$$$$\mathrm{In}△\mathrm{BFG},\mathrm{\angle }\mathrm{FBG}=\mathrm{\angle }\mathrm{FGB}$$$$\therefore \mathrm{GF}=\mathrm{BF}=2-\sqrt{2}........................\mathrm{II}$$$$\mathrm{From}\mathrm{I}\mathrm{\&}\mathrm{II}$$$$\mathrm{EF}=\mathrm{GF}=2-\sqrt{2}$$$$\mathrm{Semi}-\mathrm{circle}\mathrm{touches}\mathrm{DC}\mathrm{and}\mathrm{BC}$$$$\mathcal{QED}$$

Answered by Rasheed Soomro last updated on 29/Dec/15

Commented by Rasheed Soomro last updated on 30/Dec/15

$$\mathrm{Actually}\mathrm{the}\mathrm{paper}\mathrm{was}\mathrm{white}\mathrm{and}\mathrm{new}\mathrm{but}$$$$\mathrm{the}\mathrm{photo}\mathrm{seems}\mathrm{as}\mathrm{old}\mathrm{as}\mathrm{if}\mathrm{it}\mathrm{were}\mathrm{taken}$$$$\mathrm{two}\mathrm{centuries}\mathrm{ago}!\mathrm{So}\mathrm{your}\mathrm{advice}\mathrm{is}\mathrm{very}$$$$\mathrm{right}.$$

Commented by Yozzii last updated on 29/Dec/15

$$If{you}^{\prime }dliketomakepictureslike$$$$thesemoredefinedwithamorewhite$$$$background,tryusingtheappcalled$$$$CamScanner.{That}^{\prime }swhatIusedto$$$$toproducethepicturesforsome$$$$questionsIsharedrecently.$$

Commented by RasheedSindhi last updated on 30/Dec/15

$$\mathrm{Thanks}.{\mathrm{I}}^{\prime }\mathrm{ll}\mathrm{try}.$$

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