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Question Number 145373 by puissant last updated on 04/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 04/Jul/21

$$1a)$$$$$$$$\mathrm{Le}\mathrm{rat}{\mathrm{n}}^{\prime }\mathrm{a}\mathrm{pas}\mathrm{de}\mathrm{memoire}.$$$$\mathrm{A}\mathrm{chaque}\mathrm{essai},\mathrm{il}\mathrm{a}3\mathrm{chances}\mathrm{sur}4\mathrm{de}$$$$\mathrm{choisir}\mathrm{une}\mathrm{mauvaise}\mathrm{porte}\mathrm{et}\mathrm{une}\mathrm{chance}$$$$\mathrm{sur}4\mathrm{de}\mathrm{choisir}\mathrm{la}\mathrm{bonne}\mathrm{porte}$$$$-\mathrm{au}1\mathrm{er}\mathrm{essai},\mathrm{mauvaise}\mathrm{porte}$$$$\left(\mathrm{probabilite}\frac{3}{4}\right)$$$$-\mathrm{au}2\mathrm{eme}\mathrm{essai},\mathrm{mauvaise}\mathrm{porte}$$$$\left(\mathrm{probabilite}\frac{3}{4}\right)$$$$-\mathrm{au}3\mathrm{eme}\mathrm{essai},\mathrm{bonne}\mathrm{porte}$$$$\left(\mathrm{probabilite}\frac{1}{4}\right)$$$$\mathrm{Les}\mathrm{essais}\mathrm{sont}\mathrm{consecutifs}\mathrm{et}\mathrm{independants},$$$$\mathrm{les}\mathrm{probabilites}\mathrm{se}\mathrm{multiplient}:$$$$p(X=3)=\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{9}{64}$$$$\left(\mathrm{environ}14\mathrm{\%}\right)$$$$$$$$1\mathrm{b})\mathrm{Meme}\mathrm{raisonnement}$$$$p(X=5)=\frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{4}$$$$p(X=5)=\frac{81}{1024}$$$$(\mathrm{environ}7,9\mathrm{\%})$$$$$$$$\mathrm{Generalisation}:\mathrm{le}\mathrm{rat}\mathrm{sort}\mathrm{au}{k}^{ieme}$$$$\mathrm{essai}.$$$$p(X=k)={\left(\frac{3}{4}\right)}^{k-1}\times \frac{1}{4}=\frac{3^{k-1}}{4^k}$$$$$$$$2)\mathrm{Le}\mathrm{rat}\mathrm{a}\mathrm{de}\mathrm{memoire}$$$$-\mathrm{Au}1\mathrm{er}\mathrm{essai},\mathrm{il}\mathrm{a}\mathrm{une}\mathrm{chance}\mathrm{sur}4$$$$-\mathrm{Au}2\mathrm{eme}\mathrm{essai},\mathrm{il}\mathrm{a}2\mathrm{chances}\mathrm{sur}3$$$$\left(\mathrm{il}\mathrm{sait}{\mathrm{qu}}^{\prime }\mathrm{une}\mathrm{porte}\mathrm{est}\mathrm{mauvaise}\right)$$$$-\mathrm{Au}3\mathrm{eme}\mathrm{essai},\mathrm{il}\mathrm{a}1\mathrm{chance}\mathrm{sur}2$$$$\left(\mathrm{il}\mathrm{sait}\mathrm{que}2\mathrm{portes}\mathrm{sont}\mathrm{mauvaises}\right)$$$$-\mathrm{Au}4\mathrm{eme}\mathrm{essai},\mathrm{il}\mathrm{a}1\mathrm{chance}\mathrm{sur}1$$$$(\mathrm{les}3\mathrm{mauvaises}\mathrm{portes}\mathrm{ont}\mathrm{ete}$$$$\mathrm{eliminees})$$$$$$$$\mathrm{La}\mathrm{variable}\mathrm{X}\mathrm{peut}\mathrm{donc}\mathrm{prendre}4$$$$\mathrm{valeurs}1,2,3\mathrm{et}4.$$$$\mathrm{La}\mathrm{loi}\mathrm{de}\mathrm{probabilite}\mathrm{de}\mathrm{X}\mathrm{est}:$$$$p(X=1)=\frac{1}{4}$$$$p(X=2)=\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$$$$p(X=3)=\frac{3}{4}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$$$p(X=4)=\frac{3}{4}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{8}$$$$\mathrm{Remarque}:\mathrm{on}\mathrm{verifie}\mathrm{bien}\mathrm{que}$$$$\mathrm{\Sigma }p(X=k)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=1$$$$$$$$\mathrm{Esperance}\mathrm{mathematique}:$$$$\mathrm{E}\left(X\right)=\mathrm{\Sigma }k\times p(X=k)$$$$\mathrm{E}\left(X\right)=\left(1\times \frac{1}{4}\right)+\left(2\times \frac{1}{2}\right)+\left(3\times \frac{1}{8}\right)+\left(4\times \frac{1}{8}\right)$$$$\mathrm{E}\left(X\right)=\frac{1}{4}+1+\frac{3}{8}+\frac{1}{2}$$$$\mathrm{E}\left(X\right)=\frac{17}{8}$$$$\mathrm{E}\left(X\right)=2,125$$$$$$$${\mathrm{D}}^{\prime }\mathrm{un}\mathrm{point}\mathrm{de}\mathrm{vue}\mathrm{probabiliste},$$$$\mathrm{Le}\mathrm{rat}\mathrm{a}\mathrm{donc}\mathrm{des}\mathrm{chances}\mathrm{de}\mathrm{sortir}$$$$\mathrm{entre}\mathrm{le}2\mathrm{eme}\mathrm{et}3\mathrm{eme}\mathrm{essai}.$$$$\mathrm{Plutot}\mathrm{le}2\mathrm{eme}\mathrm{essai}.$$$$$$$$\mathrm{Excellente}\mathrm{methode}\mathrm{pour}\mathrm{tester}\mathrm{si}\mathrm{un}$$$$\mathrm{rat}\mathrm{a}\mathrm{de}\mathrm{la}\mathrm{memoire}!$$

Commented by puissant last updated on 04/Jul/21

$$\mathrm{merci}\mathrm{beaucoup}..$$

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