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Question Number 147176 by Lewis junior last updated on 18/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 18/Jul/21

(1) (a) Soit x∈R_+ ^∗ . −Etude de F : La fonction ϕ : t⇝((e^(−xt) sint)/t) est continue par morceaux sur ]0;+∞[. En 0 : ∣((e^(−xt) sint)/t)∣ ∼ e^(−xt) →_(t→0) 1 donc la fonction ϕ est prolongeable par continuite en 0 et l′integrale converge. En +∞ : la fonction sin est de classe C^1 sur R_+ et sa derivee est cos, qui est bornee (en valeurs absolues) par 1. Donc l′inegalite des accroissements finis entre 0 et t∈R_+ ^∗ s′ecrit ∣sin(t) − sin(0)∣≤ 1×∣t−0∣ Ainsi, en divisant par t > 0 : ((∣sint∣)/t) ≤ 1 Et donc ∣ϕ(t)∣ ≤ e^(−xt) , qui est integrable au voisinage de +∞, d′apres les criteres des exponentielles (x>0). Conclusion : l′integrale ∫_0 ^(+∞) ((e^(−xt) sint)/t)dt est absolument convergente, donc convergente, et F(x) existe. F est definie sur R_+ ^∗ . (b) Soit a un reel strictement positif. Appliquons le theoreme de Leibniz de derivation des integrales dependant d′un parametre sur l′intervalle D = [a;+∞[, qui nous donne directement que la fonction est de classe C^1 (et donc continue). Soit h : [a;+∞[×]0;+∞[→R definie par h(x,t) = ((e^(−xt) sint)/t) −Pour tout t∈]0;+∞[, la fonction x⇝h(x,t) est C^1 sur [a;+∞[ car l′exponentielle l′est. −Pour tout x∈[a;+∞[, la fonction t⇝h(x,t) est integrable sur ]0;+∞[ d′apres la question (a). −Pour tout x∈[a;+∞[, la fonction t⇝(∂h/∂x)(x,t) = ((−te^(−xt) sint)/t) = −e^(xt) sint est continue par morceaux sur ]0;+∞[. −La fonction ϕ(t) = e^(−at) est integrable sur ]0;+∞[ d′apres le critere des exponentielles (a>0) et ∀ (x,t)[a;∞[×∈]0;+∞[ ∣(∂h/∂x)(x,t)∣ = ∣sint∣e^(−xt) ≤ e^(−at) = ϕ(t) Donc, d′apres le theoreme de derivation, la fonction F est de classe C^1 sur [a;+∞[ et F′(x) = −∫_0 ^∞ e^(−xt) sint dt (c) Nous avons vu que ∣((e^(−xt) sint)/t)∣ ≤ e^(−xt) Donc ∣F(x)∣ ≤ ∫_0 ^(+∞) ∣((e^(−xt) sint)/t)∣ dt ≤ ∫_0 ^(+∞) e^(−xt) dt = (1/x) →_(x→+∞) 0 Par majoration lim_(x→+∞) F(x) = 0 ...to be continued...

(1)(a)Soitx∈R+∗.−EtudedeF:Lafonctionφ:t⇝e−xtsinttestcontinueparmorceauxsur]0;+∞[.En0:∣e−xtsintt∣∼e−xt→t→01donclafonctionφestprolongeableparcontinuiteen0etl′integraleconverge.En+∞:lafonctionsinestdeclasseC1surR+etsaderiveeestcos,quiestbornee(envaleursabsolues)par1.Doncl′inegalitedesaccroissementsfinisentre0ett∈R+∗s′ecrit∣sin(t)−sin(0)∣⩽1×∣t−0∣Ainsi,endivisantpart>0:∣sint∣t⩽1Etdonc∣φ(t)∣⩽e−xt,quiestintegrableauvoisinagede+∞,d′apreslescriteresdesexponentielles(x>0).Conclusion:l′integrale∫0+∞e−xtsinttdtestabsolumentconvergente,doncconvergente,etF(x)existe.FestdefiniesurR+∗.(b)Soitaunreelstrictementpositif.AppliquonsletheoremedeLeibnizdederivationdesintegralesdependantd′unparametresurl′intervalleD=[a;+∞[,quinousdonnedirectementquelafonctionestdeclasseC1(etdonccontinue).Soith:[a;+∞[×]0;+∞[→Rdefinieparh(x,t)=e−xtsintt−Pourtoutt∈]0;+∞[,lafonctionx⇝h(x,t)estC1sur[a;+∞[carl′exponentiellel′est.−Pourtoutx∈[a;+∞[,lafonctiont⇝h(x,t)estintegrablesur]0;+∞[d′apreslaquestion(a).−Pourtoutx∈[a;+∞[,lafonctiont⇝∂h∂x(x,t)=−te−xtsintt=−extsintestcontinueparmorceauxsur]0;+∞[.−Lafonctionφ(t)=e−atestintegrablesur]0;+∞[d′apreslecriteredesexponentielles(a>0)et∀(x,t)[a;∞[×∈]0;+∞[∣∂h∂x(x,t)∣=∣sint∣e−xt⩽e−at=φ(t)Donc,d′apresletheoremedederivation,lafonctionFestdeclasseC1sur[a;+∞[etF′(x)=−∫0∞e−xtsintdt(c)Nousavonsvuque∣e−xtsintt∣⩽e−xtDonc∣F(x)∣⩽∫0+∞∣e−xtsintt∣dt⩽∫0+∞e−xtdt=1x→x→+∞0Parmajorationlimx→+∞F(x)=0...tobecontinued...

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