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Question Number 16483 by RasheedSoomro last updated on 23/Jun/17

Commented by RasheedSoomro last updated on 23/Jun/17

$$\mathrm{Thanks}\mathrm{sir}\mathrm{for}\mathrm{mentioning}\mathrm{mistake}.$$$$\mathrm{The}\mathrm{figure}\mathrm{has}\mathrm{been}\mathrm{changed}.$$

Commented by RasheedSoomro last updated on 23/Jun/17

$$\mathrm{There}\mathrm{are}\mathrm{three}\mathrm{concentric}\mathrm{squares}.$$$$\mathrm{Construct}\mathrm{by}\mathrm{ruler}\mathrm{\&}\mathrm{compass}$$$$\mathrm{an}\mathrm{equilateral}\mathrm{triangle}\mathrm{whose}\mathrm{vertices}\mathrm{are}\mathrm{on}$$$$\mathrm{different}\mathrm{squares}\mathrm{and}\mathrm{which}\mathrm{is}\left(\mathrm{i}\right)\mathrm{maximum}$$$$\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{minimum}$$$$\mathrm{This}\mathrm{question}\mathrm{is}\mathrm{posted}\mathrm{to}\mathrm{show}\mathrm{only}\mathrm{a}\mathrm{variant}$$$$\mathrm{of}\mathrm{some}\mathrm{past}\mathrm{questions}.\mathrm{If}\mathrm{its}\mathrm{answering}\mathrm{is}\mathrm{too}$$$$\mathrm{laborious},\mathrm{pl}{\mathrm{don}}^{\prime }\mathrm{t}\mathrm{solve}\mathrm{it}.$$

Commented by mrW1 last updated on 23/Jun/17

$$\mathrm{the}\mathrm{question}\mathrm{is}\mathrm{interesting}.{\mathrm{it}}^{\prime }\mathrm{s}\mathrm{similar}$$$$\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{question}\mathrm{with}3\mathrm{parallel}\mathrm{lines},$$$$\mathrm{but}\mathrm{these}3\mathrm{lines}\mathrm{have}\mathrm{limited}\mathrm{range},$$$$\mathrm{so}\mathrm{the}\mathrm{answer}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{little}\mathrm{bit}\mathrm{more}\mathrm{difficult},$$$$\mathrm{and}\mathrm{there}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{always}\mathrm{a}\mathrm{solution},\mathrm{I}$$$$\mathrm{think}.$$

Commented by RasheedSoomro last updated on 23/Jun/17

$$\mathrm{Actually}\mathrm{the}\mathrm{question}\mathrm{is}\mathrm{to}\mathrm{determine}$$$$\mathrm{three}\mathrm{points}\mathrm{on}\mathrm{three}\mathrm{squares}\mathrm{which}$$$$\mathrm{are}\mathrm{pairwise}\mathrm{equidistant}\mathrm{from}\mathrm{each}\mathrm{other}.$$$$\mathrm{By}\mathrm{experimenting}\mathrm{with}\mathrm{geogebra}\mathrm{I}\mathrm{thought}$$$$\mathrm{a}\mathrm{possibility}\mathrm{of}\mathrm{existing}\mathrm{such}\mathrm{points}.$$$$\mathrm{I}\mathrm{think}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{method}\mathrm{suggested}\mathrm{by}\mathrm{you}$$$$\mathrm{in}\mathrm{some}\mathrm{past}\mathrm{questions}\mathrm{will}\mathrm{also}\mathrm{be}\mathrm{successful}$$$$\mathrm{here}.$$$$\mathrm{However}\mathrm{to}\mathrm{determine}\mathrm{minimum}/\mathrm{maximum}$$$$\mathrm{size}-\mathrm{triangle}\mathrm{by}\mathbf{ruler}\mathrm{\&}\mathbf{compass}\mathrm{is}\mathrm{doubtful}.$$$$.....$$$$\mathrm{My}\mathrm{first}\mathrm{diagram}\mathrm{was}\mathrm{wrong}\mathrm{and}\mathrm{now}\mathrm{I}\mathrm{have}$$$$\mathrm{repaced}\mathrm{it}.$$$$\mathcal{THANKS}\mathrm{for}\mathrm{taking}\mathrm{interest}\mathcal{S}ir!$$

Commented by mrW1 last updated on 23/Jun/17

Commented by RasheedSoomro last updated on 23/Jun/17

$$\mathcal{S}pecialthanksforsomuch\mathcal{ELEGANT}$$$$diagrams!!!$$$$\mathbf{As}\mathbf{usual}\mathrm{you}\mathrm{did}\mathrm{the}\mathrm{best}!$$$$\mathrm{These}\min /\max \mathrm{are}\mathrm{only}\mathrm{for}\mathrm{point}\mathrm{B}?$$$$\mathrm{They}{\mathrm{aren}}^{\prime }\mathrm{t}\mathrm{absolute}\min /\max \mathrm{for}\mathrm{any}$$$$\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{three}\mathrm{squares}?$$

Commented by mrW1 last updated on 23/Jun/17

$$\mathrm{Thanks}\mathrm{for}\mathrm{your}\mathrm{compliment}!$$$$\mathrm{To}\mathrm{find}\mathrm{the}\min .\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{second}$$$$\mathrm{square}\mathrm{should}\mathrm{be}\mathrm{as}\mathrm{close}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{point}$$$$\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{square}\left(\mathrm{A}\right)\mathrm{as}\mathrm{possible}.$$$$\mathrm{To}\mathrm{find}\mathrm{the}\max .\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{second}$$$$\mathrm{square}\mathrm{should}\mathrm{be}\mathrm{as}\mathrm{far}\mathrm{from}\mathrm{the}\mathrm{point}$$$$\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{square}\left(\mathrm{B}\right)\mathrm{as}\mathrm{possible}.$$$$\mathrm{So}\mathrm{the}\min .\mathrm{and}\max .\mathrm{shown}\mathrm{in}\mathrm{the}$$$$\mathrm{figure}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{absolute}\min .\mathrm{and}\max .$$$$\mathrm{in}\mathrm{this}\mathrm{case}.\mathrm{Certainly}\mathrm{one}\mathrm{can}\mathrm{construct}$$$$\mathrm{more}\mathrm{identical}\mathrm{such}\min .\mathrm{and}\mathrm{identical}$$$$\mathrm{such}\max .\mathrm{due}\mathrm{to}\mathrm{symmetry}.\mathrm{But}\mathrm{no}$$$$\mathrm{smaller}\mathrm{or}\mathrm{bigger}\mathrm{equilateral}\mathrm{triangles}$$$$\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{constructed}\mathrm{than}\mathrm{the}\min .\mathrm{or}$$$$\max .\mathrm{shown}.$$

Commented by RasheedSoomro last updated on 23/Jun/17

$$\mathcal{S}ir,c\mathrm{an}\mathrm{it}\mathrm{be}\mathrm{possible}\mathrm{to}\mathrm{draw}\mathrm{these}\min$$$$\mathrm{or}\max \mathrm{by}\mathrm{ruler}\mathrm{\&}\mathrm{compass}?$$

Commented by mrW1 last updated on 23/Jun/17

$$\mathrm{Yes}.\mathrm{The}\mathrm{method}\mathrm{I}\mathrm{showed}\mathrm{uses}\mathrm{only}$$$$\mathrm{ruler}\mathrm{and}\mathrm{compass}\mathrm{in}\mathrm{mathematical}$$$$\mathrm{sense}\mathrm{though}\mathrm{I}\mathrm{work}\mathrm{on}\mathrm{computer}.$$

Commented by mrW1 last updated on 23/Jun/17

Commented by mrW1 last updated on 24/Jun/17

$$\mathrm{We}\mathrm{start}\mathrm{at}\mathrm{point}\mathrm{B}.$$$$\mathrm{On}\mathrm{the}\mathrm{side}\mathrm{of}\mathrm{third}\mathrm{square}\mathrm{opposite}\mathrm{to}$$$$\mathrm{B}\mathrm{we}\mathrm{select}\mathrm{two}\mathrm{arbitrary}\mathrm{points}{\mathrm{P}}_1\mathrm{and}$$$${\mathrm{P}}_2\mathrm{and}\mathrm{construct}\mathrm{equilateral}\mathrm{triangles}$$$$\mathrm{\Delta }{\mathrm{BP}}_1{\mathrm{Q}}_1\mathrm{and}\mathrm{\Delta }{\mathrm{BP}}_2{\mathrm{Q}}_2.\mathrm{Connecting}$$$${\mathrm{Q}}_1\mathrm{and}{\mathrm{Q}}_2\mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{a}\mathrm{line}\mathrm{which}\mathrm{intersects}$$$$\mathrm{with}\mathrm{the}\mathrm{side}\mathrm{of}\mathrm{second}\mathrm{square}\mathrm{opposite}$$$$\mathrm{to}\mathrm{B}\mathrm{at}\mathrm{point}\mathrm{C}.\mathrm{Using}\mathrm{C}\mathrm{as}\mathrm{center}\mathrm{and}$$$$\mathrm{CB}\mathrm{as}\mathrm{radius}\mathrm{we}\mathrm{draw}\mathrm{a}\mathrm{circle}\mathrm{which}$$$$\mathrm{intersects}\mathrm{the}\mathrm{side}\mathrm{of}\mathrm{third}\mathrm{square}\mathrm{at}$$$$\mathrm{point}\mathrm{D}.\mathrm{\Delta }\mathrm{BCD}\mathrm{is}\mathrm{then}\mathrm{the}\mathrm{requested}$$$$\mathrm{equilateral}\mathrm{triangle}.$$$$\mathrm{All}\mathrm{these}\mathrm{operations}\mathrm{use}\mathrm{only}\mathrm{ruler}\mathrm{and}$$$$\mathrm{compass}.$$

Commented by RasheedSoomro last updated on 24/Jun/17

$$\left[\begin{array}{cccccc}\mathcal{T}& \mathcal{H}& \mathcal{A}& \mathcal{N}& \mathcal{K}& \mathcal{S}\\ \mathcal{H}& \lceil & & & \rceil & \mathcal{K}\\ \mathcal{A}& \mid & \lceil & \rceil & \mid & \mathcal{N}\\ \mathcal{N}& \mid & \lfloor & \rfloor & \mid & \mathcal{A}\\ \mathcal{K}& \lfloor & \mathrm{\_}& \mathrm{\_}& \rfloor & \mathcal{H}\\ \mathcal{S}& \mathcal{K}& \mathcal{N}& \mathcal{A}& \mathcal{H}& \mathcal{T}\end{array}\right]!$$$$\mathrm{Appriciate}\mathrm{your}\mathrm{knowledge}\mathrm{of}\mathrm{geometry}!$$$$\mathrm{Appriciate}\mathrm{your}\mathrm{knowledge}-\mathrm{sharing}\mathrm{skill}!$$$$\mathrm{Appriciate}\mathrm{your}\mathrm{sharing}-\mathrm{sprit}!$$$$$$

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